5 Чисто неявные разностные методы
В настоящее время при интегрировании жестких систем уравнений широко используется метод Гира, в основу которого положены чисто неявные многошаговые разностные методы высокого порядка точности.
Разностный метод
(8.83)
называется чисто неявным. Он является частным случаем метода (8.64), когда
,
.
Для отыскания
получаем из (8.83) нелинейное уравнение
,
(8.84)
которое можно решить тем или иным итерационным методом.
Условие
-го
порядка аппроксимации (см. п.8.3) в случае
метода (8.83) принимает вид
,
,
,
.
(8.85)
Отсюда видно, что
наивысший достижимый порядок аппроксимации
чисто неявного
-шагового
метода равен
.
Метод Гира использует чисто неявные
схемы наивысшего порядка аппроксимации.
Система уравнений (8.85) для определения
коэффициентов
метода наивысшего порядка имеет вид
,
,
(8.86)
. . .
.
Эта система однозначно разрешима, так как ее определитель отличен от нуля.
При
метод (8.84), (8.86) совпадает с неявным
методом Эйлера. При
и
получаем методы (доказать)
,
(8.87)
,
(8.88)
имеющие,
соответственно, второй и третий порядок
точности. При
из (8.84), (8.86) получим схему
.
(8.89)
Для практических расчетов используются аналогичные методы вплоть до десятого порядка точности.
Найдем область устойчивости метода второго порядка (8.87) (самостоятельно).