1. Неперервна випадкова величина та її закони розподілу

Розглянутий закон розподілу є зручною формою для дискретної випадкової величини. Але, якщо розглянути, приклад (4), то бачимо, що значення випадкової величини – Х(ω) заповнюють цілий проміжок і перерахувати їх в таблиці неможливо. Крім того, ймовірність набути окреме значення, як пізніше буде з’ясовано, дорівнює нулю.

Тому для неперервної випадкової величини, тобто такої величини, можливі значення якої неперервно заповнюють деякий інтервал (скінченний чи нескінченний) числової осі, природно поставити вимогу, щоб при будь-яких дійсних х1, х2 було визначено ймовірність того, щоб х1≤Х<х2 ; зокрема, для будь-якого дійсного числа х повинна бути визначена ймовірність того, що Х<х.

Тому визначимо таку характеристику розподілу, яку можна застосовувати для різних випадкових величин. Найбільш загальною формою закону розподілу випадкової величини Х є функція розподілу.

Означення 1. Функцією розподілу, або інтегральним законом розподілу, випадкової величини Х називається ймовірність виконання нерівності Х<х, розглядувана як функція аргументу х:

.

Із значення функції розподілу випливає, що вона існує для всіх випадкових величин: як дискретних, так і неперервних. Для дискретної випадкової величини Х, яка набирає значення х1, х2, …хn функція розподілу буде мати вигляд:

, (1)

де символ хі<х під знаком суми означає, що сума поширюється на всі ті можливі значення випадкової величини, які по своїй величині менші аргументу х. З виразу (1) випливає, що функція розподілу дискретної випадкової величини Х розривна і зростає стрибками при переході через точки можливих її значень х1, х2, …хn .Причому величина стрибка рівна ймовірності відповідного значення.

Властивості функції розподілу:

Властивість 1. Функція розподілу: є невід’ємна функція, значення якої не більше одиниці .

Дійсно , а .

Властивість 2. Ймовірність появи випадкової величини в інтервалі рівна різниці значень функції розподілу в кінцях інтервалу

Дійсно, оскільки . Тому

Властивість 3. Функція розподілу випадкової величини є неспадна функція, тобто при

Властивість 4.

3. Диференціальна функція розподілу

Виникає питання: яким чином, спостерігаючи випадкові значення Х, побудувати функцію розподілу . Виявляється, що до цієї функції практично простіше підходити через іншу функцію.

Нехай - неперервна і диференційована функція розподілу випадкової величини Х. Підрахуємо ймовірність попадання значень на інтервал , а саме:

. §2. Числові характеристики випадкових величин

Відомо, що закон розподілу повністю характеризує випадкову величину з ймовірносної точки зору. Знаючи закон розподілу випадкової величини, можна вказати, де розміщуються можливі значення випадкової величини і яка ймовірність появи її в тому чи іншому інтервалі.

Проте при розв’язанні багатьох задач нема необхідності характеризувати випадкову величину повністю, а досить мати про неї тільки деяке загальне уявлення. Часто буває досить вказати не весь закон розподілу, а лише його деякі характерні риси.

В теорії ймовірностей для загальної характеристики випадкових величин використовуються деякі величини, що носять назву числових характеристик випадкової величини.

Основне їх призначення – в стислій формі виразити найбільш суттєві особливості того чи іншого розподілу.

Про кожну випадкову величину необхідно перш за все знати її деяке середнє значення, біля якого групуються всеможливі значення випадкової величини, а також яке-небуть число, що характеризує ступінь розкидання (розсіювання) цих значень відносно середнього. Крім вказаних числових характеристик, для більш повного опису випадкової величини використовують і ряд інших характеристик. Всі вони допомагають в певній мірі вияснити характерні риси розподілу випадкової величини. Розглянемо найбільш часто вживані числові характеристики.