1. Математичне сподівання. Математичне сподівання є важливою характеристикою розміщення випадкової величини, його часто називають просто середнім значенням випадкової величини.

Розглянемо спочатку дискретну випадкову величину Х, що має всеможливі значення х1, х2, …хn з ймовірностями р1, р2,, …рn.

Тоді математичне сподівання випадкової величини Х, яке позначають визначається рівністю :

Відмітимо найпростіші властивості математичного сподівання.

Властивість 1. Математичне сподівання постійної величини рівне самій постійній, тобто

Властивість 2. Сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання:

Властивість 3. Математичне сподівання об’єднання двох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань

Наслідок 1. Математичне сподівання об’єднання скінченного числа випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань

Властивість 4. Математичне сподівання перетину двох незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань.

2. Дисперсія і середнє квадратичне відхилення.

Для характеристики випадкової величини недостатньо знати лише її математичне сподівання, так як одному і тому ж математичному сподіванню може відповідати нескінченна множина випадкових величин з різними законами розподілу.

Значення випадкових величин завжди коливається біля середнього значення. Це явище називається розсіюванням величини біля її середнього значення.

Основними характеристиками розсіювання випадкової величини є середнє квадратичне відхилення.

Означення. Дисперсією D[X] випадкової величини X називається математичне сподівання квадрату відхилення цієї величини від її математичного сподівання

Для дискретної випадкової величини дисперсія виражається сумою

Найпростіші властивості дисперсії:

Властивість 1. Дисперсія будь-якої випадкової величини невід’ємна.

Доведення безпосередньо випливає з означення дисперсії, так як

Властивість 2. Дисперсія постійної величини рівна нулю: D(C)=0.

Доведення. Дійсно

Властивість 3. Дисперсія добутку сталої величини на випадкову величину рівна добутку квадрату постійної величини на дисперсію випадкової величиниD(CX)=C2D(X).

Властивість 4. Дисперсія випадкової величини дорівнює різниці між математичним сподіванням квадрату цієї величини і квадратом її математичного сподівання:

D(X)=M(X)2-M2D(X) (4)

Теорема 1. Якщо Х1 Х2…Хn – однаково розподілені випадкові величини, математичні сподівання кожної з яких рівне а, то математичне сподівання їх об’єднання рівне n a, а математичне сподівання середньої арифметичної рівне а.

Дійсно

Теорема 2. Якщо Х1 Х2…Хn – однаково розподілені випадкові величини, дисперсія кожної з яких рівна s2х, то дисперсія їх об’єднання рівна ns2х, а дисперсія середньої арифметичної рівна .

§1. Закони розподілу дискретних випадкових величин

Задають дискретні випадкові величини за допомогою закону розподілу, коли задаються ймовірності їх можливих випадкових значень (див. §1). Залежно від того, за якою формулою будуть обчислюватися ймовірності Рі, ці закони будуть мати свою назву.

Біноміальний розподіл – це закон розподілу випадкових величин, заданий таблицею, у якій ймовірності Рі обчислюються за формулою Бернуллі:

.

Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини, що має біноміальний розподіл відповідно рівні:

.

Пуассонівський закон розподілу – це закон розподілу випадкової величини, заданий табли цею, у якій ймовірність обчислюється за формулою Пуассона

Геометричний закон розподілу

Нехай проводяться незалежні випробування, в кожному з яких ймовірність появи події А рівна р (0 < p < 1), а не появи q = 1- p. Випробування закінчуються, як тільки відбувається подія А. Таким чином, якщо подія А відбулась в k-му випробуванні, то попередніх k-1 випробування Х є: х1=1, х2=2, …

Нехай в перших k-1 випробуваннях подія А не відбулася, а в k-му випробуванні з’явилась. Тоді ймовірність рівна