- •Глава I.
- •§1.1. Матрицы и операции над ними.
- •§1.2. Определители. Теорема Лапласа.
- •§1.3. Теоремы о произведении определителей и обратной матрице. Правило Крамера.
- •Глава II. Линейные пространства и
- •§2.1. Арифметическое линейное пространство .
- •§2.2. Ранг матриц.
- •§2.3. Системы линейных уравнений.
- •Глава 3.
- •§3.1. Матрицы линейных операторов.
- •§3.2. Ранг и дефект линейного оператора.
- •§3.3. Характеристические корни и собственные значения.
- •Глава 4.
- •§4.1. Группы, кольца, поля.
- •§4.2. Поле комплексных чисел.
- •§4.3. Поля вычетов.
- •§4.4. Кольца многочленов.
§4.3. Поля вычетов.
Пусть множество всех остатков от деления целых чисел на натуральное число , т. е. . Суммой (произведением) двух элементов будем считать остаток от деления этой суммы (произведения) на число . Рассмотрим полученную структуру .
ТЕОРЕМА 6. Если составное, то не является полем.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть составное, т. е. , где и . Тогда по модулю получаем , но и . Так как в поле такого быть не может (теорема 5), то при составном остатки с операциями по модулю не образуют поля. □
Покажем теперь, что в случае простого , является полем. Вначале заметим следующее. Пусть и — два целых числа, остатки от деления их на , т. е. и . Тогда и , откуда получаем, что числа и , а также числа и дают при делении на одинаковые остатки. Другими словами, мы получим одинаковый результат, если сначала возьмем остатки от деления и на и потом сложим (или умножим) их по модулю , или, если мы сначала сложим (или умножим) и , как обычные натуральные числа, а затем возьмем остаток от деления полученного числа на . Таким образом, при вычислении некоторого выражения с операциями по модулю можно не брать остаток от деления на после каждой операции, а произвести вычисления сначала как с обычными натуральными числами и обычными операциями и только в конце взять остаток от деления полученного числа на . Это позволяет утверждать, что операции сложения и умножения ассоциативны и коммутативны, а также справедлива дистрибутивность умножения относительно сложения.
Нейтральным элементом по сложению является , а единичным элементом по умножению . Остается показать, что при простом у каждого остатка , отличного от , есть обратный, т. е. что найдется остаток такой, что по модулю . Итак, пусть . Рассмотрим числа
(умножение обычное).
Разность любых двух из этих чисел не делится на , так как простое, а и . Таким образом, все эти чисел дают разные и, следовательно, всевозможные остатки при делении на . Значит, одно из этих чисел дает при делении на остаток , т. е. по модулю для некоторого остатка .
Таким образом, при простом все свойства поля выполняются.
В качестве примера приведём таблицы сложения и умножения элементов поля вычетов по модулю 5.
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
2 |
2 |
3 |
4 |
0 |
1 |
3 |
3 |
4 |
0 |
1 |
2 |
4 |
4 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
2 |
0 |
2 |
4 |
1 |
3 |
3 |
0 |
3 |
1 |
4 |
2 |
4 |
0 |
4 |
3 |
2 |
1 |
По этим таблицам также можно получить разность и частное любых двух элементов.