§1.3. Теоремы о произведении определителей и обратной матрице. Правило Крамера.
ТЕОРЕМА (о
произведении определителей). Определитель
произведения двух квадратных матриц
и
одного и того же порядка
равен произведению их определителей,
т.е.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Рассмотрим вспомогательный определитель
порядка
Используя теорему
Лапласа, вычислим
,
разлагая
его по первым
строкам. Так как в них лишь один минор
может быть
не равен
,
а его алгебраическое дополнение есть
,
то
.
Используя
свойство 9 определителей, добьемся, что
все элементы
обратились в
.
Для этого
столбец
умножим
на
и прибавим к
столбцу
,
и так для каждых
и
.
Получим
Вычислим
,
разлагая
его по последним
столбцам. Получим
,
где
.
Тогда
и
.
Но нетрудно проверить, что
.
□
Пусть
и
матрицы порядка
.
Матрица
называется обратной
для матрицы
,
если
.
Матрица
называется невырожденной,
если
.
ЛЕММА (к теореме об обратной матрице).
(а)
если
имеет обратную матрицу
,
то
-
невырожденная;
(б) если обратная матрица для существует, то она единственна.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
(а) Имеем
.
По теореме о произведении определителей
получаем
.
Значит
.
(б) Пусть
также обратная матрица для
.
Используя ассоциативность умножения
матриц, имеем
.
□
Оказывается утверждение (а) можно обратить.
ТЕОРЕМА (об обратной
матрице). Если
матрица
-
невырожденная матрица, то она имеет
обратную матрицу
,
где
(4)
Иными словами,
элемент
равен алгебраическому дополнению
элемента
,
деленному на
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Найдем элемент произведения матрицы на указанную матрицу (4). Он равен
.
Но по следствиям
1 и 2 из теоремы Лапласа сумма в скобках
равна
,
если
,
и равна 0, если
.
Следовательно
.
Аналогично, используя замечание после
следствия 2, доказывается, что
.
□
Пример 7.
Дана матрица
.
Её определитель
,
поэтому обратная матрица
существует.
Найдём алгебраические дополнения
элементов матрицы
:
;
;
;
;
.
Тогда
Линейным уравнением
от
неизвестных
называется уравнением вида
.
Поэтому системой линейных уравнений (СЛУ) называется система вида
(5)
Эта СЛУ состоит
из
уравнений от
неизвестных. Матрица
,
составленная из коэффициентов при
неизвестных, называется основной,
а если к ней приписать столбец из
- свободных членов СЛУ (5), то полученную
матрицу называют расширенной.
СЛУ (5) можно записать и в матричном виде
(6)
СЛУ (5) называется
крамеровской,
если число уравнений в ней равно числу
неизвестных
и основная матрица ее невырожденная.
ПРАВИЛО КРАМЕРА.
Крамеровская
СЛУ имеет единственное решение
,
которое находится по формулам
,
где
определитель основной матрицы СЛУ, а
получается из
в результате замены в
столбца на столбец из свободных членов.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как , то существует обратная матрица . Домножая обе части равенства (6) слева на , получим
(7)
Вспоминая, чему равна матрица и находя произведение в правой части (7) получаем
(8)
Но по следствию 1
из теоремы Лапласа числитель (7) есть
,
если вычислить
,
разлагая
по
столбцу. □
Пример 8. Решить систему уравнений
Решение.
т. о.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I.
Вычислить выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Вычислить определители:
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
Доказать, что система имеет единственное решение, и найти его методом Крамера:
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58. Определить, при каких значениях a и b система
1) имеет единственное решение;
2) не имеет решений;
3) имеет бесконечно много решений.
Найти обратные матрицы для следующих матриц:
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
Решить матричные уравнения:
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
