- •Математическая статистика. Вариационные ряды и их характеристики.
- •Основные понятия теории оценок
- •Неравенство Чепмена – Роббинса.
- •Неравенство информации.
- •Достаточные статистики.
- •Методы оценки неизвестных параметров. Метод моментов.
- •Метод максимального правдоподобия.
- •Оценка параметров нормального распределения методом максимального правдоподобия и свойства данных оценок.
- •Свойства оценок нормального распределения:
- •Основные статистические распределения.
- •Интервальные оценки.
- •Основные понятия проверки статических гипотез.
- •Подход Неймана - Пирсона к выбору решающей функции .
- •Критерии для проверки гипотезы о виде функции распределения.
- •Критерий согласия Колмогорова. Критерий Колмогорова – Смирнова. Критерий согласия Колмогорова:
- •Критерий согласия Колмогорова - Смирнова:
- •Проверка гипотезы о нормальном распределении выборочных значений по критерию Пирсона.
- •Проверка гипотезы о распределении выборочных значений по закону Пуассона.
- •Задача регрессионного анализа.
- •Определение оценок коэффициентов регрессии по данным пассивного эксперимента.
- •Основные понятия дисперсионного анализа. Однофакторный дисперсионный анализ.
- •Однофакторный дисперсионный анализ
Определение оценок коэффициентов регрессии по данным пассивного эксперимента.
Для определения оценок коэффициентов проводят серию экспериментов, в каждом из которых измеряют величины на входах и выходах исследованного объекта.
Рассмотрим -ый эксперимент, . Пусть и , где , - значения величин и в этом эксперименте. Оценка будет отличаться от измеренного значения . Величины . Для определения коэффициентов будет использован метод наименьших квадратов. В этом случаи оценки будут находится из условия: . Перейдём к матричной форме: , , , . Тогда наша зависимость запишется в виде: . Для использования метода наименьшего квадрата будем рассматривать следующую величину: .
Минимум находим из условия: , . Т.к. определение оценок коэффициентов проводится по искажённым помехам экспериментальных данных, то для получения точных оценок нужно, что бы число экспериментов было , где -число неизвестных параметров, т.к. .
Определение: Разность между числом наблюдений и числом неизвестных параметров называется число степеней свободы эксперимента: .
О правильности построений по экспериментальным данным регрессионной модели с уровнем надёжности можно судить на основании - критерия Фишера. Для этого определим отношение: , где - дисперсия, характеризующая рассеяние эксперимента точек относительно уровня регрессии, - дисперсия, характеризующая ошибку эксперимента, - выборочная средняя всех результатов эксперимента. Когда значение найдено, его сравнивают с табличными значениями . Если , то построенная модель считается адекватной.
Основные понятия дисперсионного анализа. Однофакторный дисперсионный анализ.
В практике деятельности часто возникает необходимость выявления и оценки влияния отдельных факторов на изменчивость какого-либо признака значения, которого могут быть получены опытным путём виде реализации некоторой случайной величины . Под факторами будет пониматься независимые различные показатели. Дисперсионный анализ позволяет установить степень влияния факторов на изменчивость признаков. Количество факторов может быть различно. По количеству факторов различают однофакторный и двухфакторный анализ. Идея дисперсионного анализа заключается в том, что дисперсия изучаемого признака раскладывается на сумму составляющих её дисперсий.
Например: , где
- дисперсия, вызванная влиянием фактора ,
- дисперсия, вызванная влиянием фактора ,
- дисперсия, вызванная влиянием фактора ,
- дисперсия, вызванная некоторым неучтённым фактором ,
- дисперсия изучаемого признака.
Мы будем рассматривать однофакторный дисперсионный анализ.
Однофакторный дисперсионный анализ
Будем считать, что некоторый фактор изучается следующим образом:
На каждом из уровней проводится по измерений . Данные эксперимента представлены в виде следующих таблиц:
№ набл. |
Уровни факторов |
|||||
A1 |
A2 |
… |
Aj |
… |
Am |
|
1 |
x11 |
x12 |
… |
x1j |
… |
x1m |
2 |
x12 |
x22 |
… |
x2j |
… |
x2m |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
k |
xk2 |
xk2 |
… |
xkj |
… |
xkm |
|
|
|
… |
|
… |
|
уровней по измерений .
Факторы .
Будем рассматривать гипотезу:
: фактор не влияет на .
: фактор влияет на .
- групповые средние.
- общая выборочная средняя принимаемая .
- фактическая сумма квадратов отклонений групповых средних от общих средних.
Эта величина характеризует рассеивание между группами:
- остаточная сумма квадратов отклонений, значения уровня фактов, от групповой средней.
Эта величина характеризует рассеивание внутри группы:
- общая сумма квадратов отклонений выборочных значений от общего среднего.
На основании выше перечисленных формул рассчитаем следующие величины:
.
Для выяснения влияния фактора на признак сравниваются и . Влияние фактора на признак считается заданным при заданном уровне , если выполняется условие: , где , . Если данное неравенство не выполняется, то влияние считается незначительным.
Пример:
В таблице приведены данные по объёмам работы выполненной на стройке за смену для 4 бригад. Проверить влияет ли состав бригады на объём выполненной работы.
-
№
№ бригады:
1
2
3
4
1
140
150
148
150
2
144
149
149
155
3
142
152
146
154
4
145
152
147
152
142,75
150,25
147,5
152,75
: не влияет;
: влияет.
Решение:
, , .
Оценим степень этой зависимости с помощью коэффициента детерминирования:
, , 84,9 % общего изменения ежедневного объёма выработки связанного с работой смены.