II.Анализ устойчивости корневым методом.
Теоретическая основа
Необходимым и достаточным условием устойчивости физически реализуемых линейных стационарных непрерывных звеньев является отрицательность вещественных частей характеристического полинома. При переходе к z-преобразованиям левая полуплоскость плоскости s отображается во внутренность единичной окружности на плоскости z.
Опыт
Рассмотрим устойчивость системы при различных значениях параметра par1 и периода квантования T.
Приведем полноценно три реализации, остальные результаты заполним в виде таблицы:
А)T=0.01; par1=1
CC>T=0.01
par1=1
w1=2/(s+18)
w2=4/ ( par1*s^2+5*s+7 )
w3=4/ (s+2)
wnepr=w1*w2/(1+w2*w3)
wz_ch=convert(wnepr,8,T)
wz=wz_ch/ ( 1+wz_ch )
pzf(wz)
6,168e-18(z+0,2528)(z-0,9802)(z+3,526)(z+2,042e+11)
Wz(z)= ————————————————————————————————————————
(z-0,835)(z-0,9545)[(z-0,9883)^2+0,02273^2]
Система будет являться устойчивой, так как модуль всех корней характеристического многочлена будет <1.
Б)T=0.01 par1=0.001
T=0.01
par1=0.001
w1=2/(s+18)
w2=4/ ( par1*s^2+5*s+7 )
w3=4/ (s+2)
wnepr=w1*w2/(1+w2*w3)
wz_ch=convert(wnepr,8,T)
wz=wz_ch/ ( 1+wz_ch )
pzf(wz)
-6,535e-18(z+0,0007243)(z-0,9802)(z+1,013)(z-1,105e+13)
wz(z) = ——————————————————————————————————————
(z+6,43e-08)(z-0,8362)[(z-0,9825)^2+0,01747^2]
Аналогично пункту а) модуль всех корней( sqrt(Re^2+Im^2) ) <1 .
Конечная калькуляция:
par1 |
T |
|||||
0,001 |
0,01 |
0,1 |
1 |
5 |
10 |
|
0,001 |
У |
У |
У |
У |
У |
У |
0,005 |
У |
У |
У |
у |
У |
У |
0,025 |
У |
У |
У |
У |
У |
У |
0,1 |
У |
У |
У |
У |
У |
У |
1 |
У |
У |
У |
У |
У |
У |
5 |
У |
У |
У |
У |
У |
У |
10 |
У |
У |
У |
У |
У |
У |
50 |
Н |
У |
У |
У |
У |
У |
100 |
Н |
Н |
У |
У |
У |
у |
1000 |
Н |
Н |
Н |
У |
У |
У |
Таким образом, мы видим, что система становится неустойчивой при больших значениях параметра 1 и маленьких значениях периода квантования.
III.Построение переходной функции.
Опыт
Переходная функция – это реакция системы на единичный всплеск – функцию Хэвисайда. Построим переходную функцию, как отклик на единичное воздействие. Тогда преобразование Лапласа u1=1/s.
А) T=0.01 par1=0.1
CC>T=0.01
par1=0.1
w1=2/(s+18)
w2=4/ ( par1*s^2+5*s+7 )
w3=4/ (s+2)
wnepr=w1*w2/(1+w2*w3)
wz_ch=convert(wnepr,8,T)
wz=wz_ch/ ( 1+wz_ch )
u1=convert(1/s,7,T)
y1h=wz*u1
y1=izt(y1h,0:900)
x1=T*(0:size(y1)[2]-1)
plot(x1,y1)
Система устойчива(т.к. отклик стремится с течением времени к константе).
В) T=0.1 par1=10
CC>T=0.1
par1=10
w1=2/(s+18)
w2=4/ ( par1*s^2+5*s+7 )
w3=4/ (s+2)
wnepr=w1*w2/(1+w2*w3)
wz_ch=convert(wnepr,8,T)
wz=wz_ch/ ( 1+wz_ch )
u1=convert(1/s,7,T)
y1h=wz*u1
y1=izt(y1h,0:900)
x1=T*(0:size(y1)[2]-1)
plot(x1,y1)
Получаем:
Из рисунка видно, что система устойчивая, что удовлетворяет результатом таблицы, полученной в прошлом пункте.
Г)T=0.1 par1=1000
T=0.1
par1=1000
w1=2/(s+18)
w2=4/ ( par1*s^2+5*s+7 )
w3=4/ (s+2)
wnepr=w1*w2/(1+w2*w3)
wz_ch=convert(wnepr,8,T)
wz=wz_ch/ ( 1+wz_ch )
u1=convert(1/s,7,T)
y1h=wz*u1
y1=izt(y1h,0:900)
x1=T*(0:size(y1)[2]-1)
plot(x1,y1)
Если посмотреть в таблицу, полученную в прошлом пункте, можно сделать вывод, что при данных значениях параметров мы входим в область неустойчивости. На этом графике переходной функции это явление можно улицезреть.