1.3. Локальні пріоритети

1.3.1. Наближені пріоритети

Нехай – елементи поточного рівня, як порівнюються.

Локальні пріоритети – це числа такі, що , які вказують питому вагу елементів в загальній сукупності .

Використовуючи заповнену матрицю попарних порівнянь (переваг) маємо можливість одержати вектор пріоритетів об’єктів, що треба порівняти.

Для того, щоб знайти вектор пріоритетів потрібно спочатку визначити головний вектор пріоритетів, адже вектор пріоритетів отримується з головного власного вектора шляхом його нормування.

Розглянемо МПП 2-го рівня «батько», для якої n=3.

Наближене значення головного власного вектора – це середнє геометричне значення по кожному рядку матриці попарних порівнянь. , - середнє геометричне і-го рядка (1.3.1)

– перевага -го елемента над -тим на даному рівні ієрархії

(в Excel можна використати формулу =СРГЕОМ())

Знайдемо для нашого випадку за формулою (1.3.1):

,

,

.

Отже, головний власний вектор має вигляд .

Наближений вектор пріоритетів знаходиться наступним чином, шляхом нормування:

, . (1.3.2)

Для даної МПП за формулою (1.3.2) знайдемо їх:

,

,

.

Знаходимо допоміжні величини

, (1.3.3)

де – елемент власного вектора.

За формулою (1.3.3):

,

,

.

Знайдемо – максимальне власне число матриці.

Маємо, .

Для решти МПП 0-го,…, 4-го рівнів виконаємо ідентичні обрахунки, результати дивись в додатках 3-7 відповідно.

1.3.2. Точні пріоритети

Метод 1. Безпосереднє розкладання визначника характеристичної матриці.

Цей метод обраховується за допомогою вбудованої функції в Excel “Поиск решения”. Розглянемо на прикладі МПП 3 рівня “Ціна” (див, додаток 5).

Беремо початкове наближення рівне порядку матриці ( ), шукаємо визначник характеристичної матриці.

, - характеристична матриця.

.

Якщо визначник , тоді n – власне число матриці, якщо ж , то n – не власне число матриці. При використовуючи “Поиск решения” підбираємо таким, щоб визначник матриці дорівнював 0. Отже отримали - максимальне власне значення матриці .

Знаходимо розв’язок ОСЛАР: . Оскільки розв’язок даної системи рівний 0, то вона вироджена. Отже викреслюємо з розгляду останній рядок (матриця ) і розв’язуємо одержану систему за допомогою базисної матриці В (матриця з викресленим останнім рядком та стовпцем).

,

.

,

А

Знайдемо тепер точний вектор пріоритетів:

Похибка між наближеним і точним вектором локальних пріоритетів (додаток 9):

Аналогічно проводимо обчислення для МПП 0-го, …, 4-го рівнів (Додаток 3-7 відповідно).

Метод 2. Піднесення матриці до великого степеня.

Розглянемо цей метод на прикладі МПП 2 рівня “ Марка ”.

Шукаємо – достатньо велике ( .

Беремо і послідовно підносимо її до степенів 2, 4, 8, 16. Отримаємо:

Далі обраховуємо суму елементів кожного рядка цієї матриці:

Аналогічно:

Тоді,

Звідси

Значення точних пріоритетів обома методами ідентичні.

Тепер використаємо 2 спосіб.

Знайдемо :

Y^(0)=	1		829827969826,280		5155990053909,300			6,213
	0	Y^(1)=A^16*Y^(0)=	556088879533,317	Y^(2)=A*Y^(1)=	3455160390127,520			6,213
	0		371618232609,485		2308984489387,820		max=Y^(2)/Y^(1)=	6,213
	0		118880557234,245		738643421280,536			6,213
	0		63068745441,499		391866550700,062			6,213
	0		176259264050,093		1095155918336,330			6,213

Отже, , що є рівним - знайдений першим методом.

Всі обрахунки на ведені в Додатку 5.