1. Доказать теоремы об углах между секущими и хордами.

2. Признаки равенства прямоугольных треугольников (доказательство двух по выбору).

3. Задачи:

а. Высоты параллелограмма см и 8см, а угол между ними 60°. Найдите площадь параллелограмма.

б. В равнобедренном треугольнике ABC (АВ=ВС) АС=а, В=2 . Через вершину С и середину высоты BD проведена прямая, пересекающая сторону АВ в точке а. Найдите площадь треугольника АаС.

БИЛЕТ № 10

1. Теорема Стюарта. Доказать, что если AD медиана треугольника ABC, то ,

2. Элементарные задачи на построение

3. Задачи:

а. Высота ромба, проведенная из вершины его тупого угла, делит сторону ромба в отношении 1: 2, считая от вершины его острого угла. Какую часть площади ромба составляет площадь вписанного в него круга?

б. Равнобедренная трапеция описана около окружности. Найти радиус окружности, если длины оснований равны а и b.

БИЛЕТ №11

1. Определение параллелограмма. Доказательство свойств параллелограмма. Теорема о соотношении диагоналей и сторон в параллелограмме.

2. Определение скалярного произведения векторов. Скалярное произведение в координатах. Свойства скалярного произведения (доказательство одного по выбору).

3. Задачи:

а. Стороны треугольника а, b, с. Вычислите медиану m_с, проведенную к стороне с.

б. В треугольнике ABC даны его медианы m_a, m_b, m_с. Найти а, b, с.

БИЛЕТ № 12

1. Прямоугольник, квадрат, ромб. Определение, признаки, свойства.

2. Доказать теорему о точке пересечения медиан треугольника.

3. Задачи:

а. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок, длина которого см

б. Даны два отрезка а и b. Постройте отрезок .

БИЛЕТ № 13

1. Теоремы о площадях четырехугольников.

2. Нахождение по двум сторонам треугольника и углу между ними биссектрисы, проведенной из вершины известного угла.

3. Задачи:

а. Основание равнобедренного треугольника равно 18см, а биссектриса делит боковую сторону на отрезки, из которых прилежащий к основанию равен 12см. Найдите периметр треугольника.

б. Гипотенуза прямоугольного треугольника делится на отрезки 5см и 12см точкой касания вписанной в треугольник окружности. На какие отрезки делит катет треугольника биссектриса его меньшего угла.

БИЛЕТ № 14

1. Теорема Менелая (прямая и обратная). Доказать одну из них.

2. Расстояние между двумя точками на координатной плоскости. Координаты середины отрезка. Доказать, что координаты точке С, делящей отрезок АВ в отношении выражается по формулам

,

3. Задачи:

а. Дано а и b, а = 2, b = 3 (a, b) = 60° Найдите:

б. Найдите координаты вектора а, если а b, b{1;-3},а = угол между вектором а и осью О_х острый.

БИЛЕТ № 15

1. Определение средней линии треугольника и трапеции. Доказать теорему о средней линии треугольника и трапеции.

2. Характеристические свойства четырехугольников.

3. Задачи:

а. Большая диагональ ромба равна 32 см и составляет со стороной ромба угол, синус которого равен 0,6. Найти площадь ромба.

б. Радиус вписанной в ромб окружности равен 4, а косинус угла образованного стороной ромба с его большей диагональю, равен . Найти площадь ромба.

БИЛЕТ № 16