§3. Правила дифференцирования
Операцию отыскания производной функции будем называть дифференцированием функции.
Теорема
1.
Если функции
и
дифференцируемы в точке
,
то функции
,
,
дифференцируемы в точке
,
причем:
1)
2)
,
3)
.
Доказательство.
По теореме 2 §2 достаточно показать существование производных функций , , .
Из дифференцируемости функций и в точке следует, что:
1) Рассмотрим разностное отношение:
Т.к. существует правой части, то существует предел левой части, причем эти пределы равны. Т.о., имеем:
И учитывая определение производной функции в точке, окончательно получаем:
.
2) Рассмотрим разностное отношение:
Т.к. функция дифференцируема в точке , то непрерывна в этой точке и, следовательно:
Учтем этот факт и перейдем к пределу в обеих частях полученного выше равенства при , получим:
Учитывая определение производной функции в точке, окончательно получаем:
3)
а) Рассмотрим сначала случай, когда
.
Преобразуем соответствующее разностное отношение:
Результат предельного перехода:
б)
пусть теперь
.
Применим правило дифференцирования
произведения, учитывая, что:
Получим:
Следствия.
1.
Если функции
дифференцируемы в точке
, то в этой точке дифференцируемыми
будут являться следующие функции:
2.
Если
дифференцируема в точке
и
,
то функция
также дифференцируема в точке
,
причем
.
3. Любая линейная комбинация дифференцируемых в некоторой точке функций есть дифференцируемая в этой точке функция.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
Примеры.
1.
.
Учитывая, что
и используя правило дифференцирования
частного, нетрудно получить, что
.
.
Аналогично
можно доказать, что если
,
то
.
3. Многочлен дифференцируем в .
4. Рациональная функция дифференцируема всюду в , где знаменатель не равен нулю.
Теорема
2
(дифференцируемость сложной функции).
Если функция
дифференцируема в точке
,
а функция
дифференцируема в точке
,
то функция
дифференцируема в точке
,
причем
.
Доказательство.
1.
Докажем, что
является неизолированной точкой
множества
,
т.е. что
. Пусть дана окрестность
и
,
тогда
,
т.к.
является неизолированной точкой
.
Следовательно,
является неизолированной точкой
множества
.
2.
Для доказательства дифференцируемости
функции
в точке
достаточно доказать существование
. для этого рассмотрим разностное
отношение
.
Функция
дифференцируема в точке
,
следовательно:
(1)
где
при
и
.
Т.к.
– неизолированная точка
,
то
и
.
Подставим
и
в (1):
Поделим обе части равенства на :
Т.к. функция дифференцируема в точке , то
Рассмотрим
.
Т.к. функция
дифференцируема в точке
,
то функция
непрерывна в этой точке и
Следовательно, предел правой части полученного выше равенства существует, а значит существует и предел левой части, т.е.
Откуда окончательно получим:
.
Замечание.
Если
,
то производную вычисляют по правилу:
Примеры.
1.
2.
3.
Теорема
3 (о дифференцируемости обратной функции).
Пусть
инъективная функция, дифференцируемая
в точке
,
и
.
Если обратная функция
непрерывна в точке
,
то
дифференцируема в точке
и
.
Доказательство.
Из
того, что
- неизолированная точка
следует, что
- неизолированная точка
.
Покажем, что
.
Рассмотрим вспомогательную функцию:
Очевидно, функция непрерывна в точке , т.к.
Докажем, что
Вычислим:
следовательно
Вычислим:
.
непрерывна
в точке
по условию теоремы,
непрерывна в точке
.
Значит,
непрерывна в точке
.
Тогда:
Следовательно, существует предел
А значит, существует предел
или , что и требовалось доказать.
Последнюю формулу можно переписать в виде:
Примеры.
1.
,
при
.
Обратную функцию рассмотрим для различных
.
Пусть
.
Тогда
инъективна и дифференцируема, обратная
функция
непрерывна в
и, следовательно,
дифференцируема при
.
Итак,
Пусть
.
Рассмотрев сужение функции
на
можно провести рассуждения, аналогичные
приведенным выше.
2)
,
.
Итак,
имеем:
3)
,
.
при
.
Следовательно,
.
.
Если
, то
.
4)
Найдем
.
инъективна,
следовательно, существует обратная
функция
.
дифференцируема в
и
.
Обратная функция
непрерывна в
,
следовательно,
дифференцируема в
и
Итак,
.
Аналогично,
можно доказать, что
.
Следствия.
1.
.
Действительно:
2.
.
Действительно:
5)
– инъективна и дифференцируема на
,
в
.
Обратная функция
непрерывна на
,
следовательно,
- дифференцируема в
и
Итак, .
6)
Известно, что
.
Следовательно,
7)
.
По теореме 3 обратная функция
дифференцируема в
и
Итак, .
Можно доказать, что , .