§ 4. Логарифмическое дифференцирование

Лемма. Если дифференцируема в точке , то дифференцируема в точке .

Доказательство.

Представим функцию следующим образом: и применим теорему о дифференцируемости сложной функции. Внутренняя функция дифференцируема в точке по условию леммы, внешняя функция дифференцируема всюду в , следовательно, сложная функция дифференцируема в точке , причем

степенной функциям.

1) .

- дифференцируемая в функция, причем

.

Итак, для любого .

2) . .

Пусть и дифференцируемы в точке . Тогда дифференцируема в точке , а значит и дифференцируема в точке . Следовательно, дифференцируема в точке , причем

Следовательно:

Итак: производная от показательно-степенной функции равна сумме производной от этой функции, рассматриваемой как сложная показательная функция, и производной от этой функции, рассматриваемой как сложная степенная функция.

Примеры.

1) , .

2)

§ 5. Касательная и производная

В этом параграфе мы рассмотрим геометрический смысл производной.

Определение 1. Касательной к плоской кривой в точке называется прямая , проходящая через точку и такая, что отрезок есть величина бесконечно малая в точке более высокого порядка, чем отрезок , т.е. при .

Лемма. Прямая является касательной к кривой в точке тогда и только тогда, когда угол при , .

Доказательство.

1) Пусть - касательная к в точке , т.е. по определению 1 при . Но при . Т.к. и при , то по теореме о пределе «под конвоем» при .

2) Пусть при . Требуется доказать, что прямая является касательной к кривой в точке . Действительно, при . Следовательно по определению 1 прямая является касательной к кривой в точке .

Рассмотрим связь между возможностью провести касательную к графику функции в некоторой точке и дифференцируемостью в этой точке.

Теорема 1. Если дифференцируема в точке , то к графику функции в точке можно провести невертикальную касательную с угловым коэффициентом .

Доказательство.

По условию теоремы дифференцируема в точке , т.е.

, где .

Требуется доказать, что прямая, проходящая через точку и имеющая угловой коэффициент является касательной к графику функции в этой точке. Заметим, что уравнение такой прямой имеет вид:

Покажем, что при . Имеем , , , . Тогда:

Оценим отношение: при .

Итак, при . Т.о. доказано, что уравнение касательной к графику дифференцируемой функции в точке имеет вид

.

Теорема 2. Пусть непрерывна в точке и к графику функции в точке можно провести невертикальную касательную. Тогда дифференцируема в точке и совпадает с угловым коэффициентом касательной.

Доказательство.

Для доказательства дифференцируемости функции в точке достаточно показать, что .

Рассмотрим (1)

Очевидно, что , а углы и зависят от . Т.к. - касательная, то угол при (по лемме). , как внешний угол треугольника. Следовательно, .

Угловой коэффициент касательной : .

Угловой коэффициент секущей : .

Т.к. касательная не является вертикальной, то . Функция не определена в точке (т.к., если , то секущей нет). Доопределим в точке по непрерывности, т.е. положим .

Рассмотрим теперь сложную функцию .

Функция непрерывна в точке и ; функция непрерывна в точке . Следовательно, функция непрерывна в точке и . Отсюда с использованием (1) следует, что

т.е. дифференцируема в точке , причем (2)

Если уравнение касательной имело вид , то с учетом (2), получаем уравнение невертикальной касательной в виде:

Тогда уравнение нормали к графику функции в точке имеет вид:

Из теорем 1 и 2 следует геометрический смысл производной функции в точке: вычислить значение производной функции в точке означает найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Примеры.

1) . Уравнение касательной в точке имеет вид , т.е. .

2) . Найдем угол пересечения графика с осью .

Возьмем , , , .

Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид , т.е. . Т.о., , т.е. искомый угол: .

Аналогично в точке , , .

Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид , т.е. . Т.о., , т.е. искомый угол: .

3) . Найдем угол пересечения графика с осью .

, , , .

Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид , т.е. . Т.о., , т.е. искомый угол: .

Замечание (о вертикальных касательных).

Рассмотрим . не определена в точке , т.е. не дифференцируема в точке .

Вычислим

Если учесть, что в точке касательная к графику рассматриваемой функции вертикальна и положить , то можно расширить понятие производной.

Определение 2. Мы скажем, что функция имеет в точке бесконечную производную, если (или ).

В таком случае, если касательная к графику функции в точке вертикальна, то геометрический смысл производной сохраняется (она совпадает с угловым коэффициентом касательной).

Если рассмотреть функцию , то здесь

Здесь в точке бесконечная производная не существует.