- •1.1. Векторная алгебра Для замечаний
- •1.1.4. Уравнение линии на плоскости
- •1.1.4.1.Параметрическое представление линии
- •1.1.4.2.Уравнение линии в полярных координатах
- •1.1.4.3. Пересечение двух линий
- •1.1.4.4. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве
- •1.1.5. Различные виды уравнений прямой на плоскости
- •1.1.5.1. Общее уравнение прямой
- •1.1.5.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •1.1.5.3. Уравнение прямой в отрезках
- •1.1.5.4. Каноническое уравнение прямой
- •1.1.5.5. Параметрические уравнения прямой
- •1.1.5.6. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •1.1.5.7. Нормированное уравнение прямой. Отклонение точки от прямой
- •1.1.5.8. Приведение общего уравнения прямой к нормированному виду
1.1. Векторная алгебра Для замечаний
1.1.4. Уравнение линии на плоскости
Пусть на плоскости заданы декартова прямоугольная система координат Oxy и некоторая линия L. Рассмотрим уравнение, связывающее переменные x и y
(1.1)
Определение. Уравнение (1.1) называется уравнением линии L (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты x и y любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты x и y ни одной точки, не лежащей на линии L.
Т.е. линия L представляет собой геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1.1).
Примеры. 1). Уравнение является уравнением окружности радиуса с центром в точке .
2). Уравнение определяет на плоскости Oxy только одну точку (0,0).
3). Уравнение вообще не определяет никакого геометрического образа.
1.1.4.1.Параметрическое представление линии
Для аналитического представления линии L возможно выражать координаты x и y точек этой линии при помощи параметра t :
, (2.1.)
где функции непрерывны по параметру t в области изменения этого параметра. Исключение из двух уравнений (2.1) параметра t приводит к уравнению вида (1.1).
Пример. Найдем параметрические уравнения окружности радиуса с центром в начале координат.
|
Пусть - любая точка этой окружности, а t - угол между радиусом-вектором и осью Ox, отсчитываемой против часовой стрелки. Тогда (2.2). |
Эти уравнения представляют собой параметрические уравнения нашей окружности. Чтобы точка один раз обошла окружность, t должно изменяться в пределах: . Для исключения параметра t из уравнения (2.2), нужно возвести в квадрат и сложить уравнения (2.2); получим .
1.1.4.2.Уравнение линии в полярных координатах
Введем на плоскости полярные координаты. выберем на плоскости точку O (полюс) и выходящий из нее луч Ox; укажем единицу масштаба.
Полярными координатами точки M называются два числа: (полярный радиус) равное расстоянию точки M от полюса O и (полярный угол)- угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки луч Ox до совмещения с лучом OM. Точку M обозначают символом и обычно считают, что .
Если начало декартовой прямоугольной системы находится в полюсе, а ось абсцисс совпадает с полярной осью, то очевидна связь между полярными координатами точки и ее декартовыми координатами :
(3.1)
Возводя эти уравнения в квадрат и складывая их, получим . Разделив одно на другое, получим, что , а также используя знаки x и y, определим четверть, в которой находится точка M. Т.е., зная декартовы координаты точки x и y можно найти ее полярные координаты.
Если представляет собой уравнение линии L в декартовой прямоугольной системе координат Oxy, то достаточно подставить на место x и y их выражения в полярных координатах (3.1): получим , где использовали обозначение .
1.1.4.3. Пересечение двух линий
Задача о нахождении точек пересечения двух линий , заданных уравнениями , состоит в нахождении координат точек, удовлетворяющих каждому из этих уравнений.
Т.е. нужно решить систему уравнений
Если эта система не имеет решений, то линии не пересекаются.
Пример. Найти точки пересечения окружностей .
Решаем систему уравнений
Вычитая из первого уравнения второе, получим
Отсюда найдем, что . Мы получили две точки пересечения .