- •1 .1. Векторная алгебра Для замечаний
- •1.1.1.2. Линейные операции над векторами
- •Свойства сложения векторов:
- •1.1.1.3. Понятие линейной зависимости векторов
- •1.1.1.4. Линейные комбинации двух векторов
- •1.1.1.5. Линейные комбинации трех векторов
- •1.1.1.6. Линейная зависимость четырех векторов
- •1.1.1.7. Понятие базиса. Аффинные координаты
- •1.1.1.8. Проекция вектора на ось
- •1.1.1.9. Декартова прямоугольная система координат в пространстве. (дпск)
1 .1. Векторная алгебра Для замечаний
1. Основной текст
1.1. Векторная алгебра
1.1.1. Понятие вектора и линейные операции над векторами
1.1.1.1. Понятие вектора
Геометрическим вектором, или просто вектором, будем называть направленный отрезок.
Обозначать вектор будем либо как направленный отрезок символом , где точки A и B обозначают соответственно начало и конец данного вектора, либо символом .
Начало вектора называют точкой его приложения. Длину вектора будем обозначать символом модуля: или .
Вектор называется нулевым, если совпадают его начало и конец. Нулевой вектор имеет длину, равную нулю.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.
Два вектора называются равными, если они коллинарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы считаются равными.
Точка приложения вектора может быть выбрана произвольно, поэтому изучаемые векторы называют свободными.
1.1.1.2. Линейные операции над векторами
Линейными операциями называют операцию сложения векторов и операцию умножения векторов на вещественные числа.
Определение 1. Суммой двух векторов и называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора .
Это правило называют “правилом треугольника”.
Свойства сложения векторов:
1.
Доказательство. Приложим два произвольных вектора и к общему
началу 0. Обозначим через A и B концы векторов и соответственно и рассмотрим параллелограмм OBCA. , .
|
|
Из определения 1 и OAC следует, что , а из OBC видим, что , ч.т.д.
Замечание. При доказательстве свойства 1 нами получено правило сложения векторов, называемое “правилом параллелограмма”: если векторы и приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма ( ) этих векторов представляет собой диагональ этого параллелограмма, идущую из общего начала векторов и .
2.
Доказательство. Приложим вектор к произвольной точке 0, вектор к концу вектора и вектор к концу вектора .
Обозначим буквами A, B, C концы векторов , и , тогда
, ч.т.д.
3. Существует нулевой вектор такой, что для любого вектора . Это свойство вытекает из определения 1.
4. Для любого вектора существует противоположный ему вектор - такой, что .
Для доказательства этого свойства определим вектор - , противоположный вектору , как вектор, коллинеарный вектору , имеющий с ним одинаковую длину и противоположное направление.
Взятая по определению 1 сумма вектора с таким вектором - дает нулевой вектор.
Определение 2. Разностью вектора и вектора называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор .
Из определения 2 и из правила треугольника (определение 1) сложения векторов вытекает правило построения разности : разность приведенных к общему началу векторов и представляет собой вектор, идущий из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого вектора .
Определение 3. Произведением ( ) вектора на вещественное число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину , и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора в случае >0 и противоположное направлению вектора в случае <0.
Свойства операции умножения вектора на число:
5. .
При “растяжении” сторон параллелограмма в раз в силу свойств подобия диагональ также “растягивается” в раз, т.е.
.
6. .
7. .
Последние два свойства очевидны из геометрических соображений.