- •1.7. Определенный интеграл и его геометрические приложения Для замечаний
- •1.7. Определенный интеграл и его геометрические приложения
- •1.7.1. Интегрируемость функции на сегменте.
- •1.7.2. Верхние и нижние суммы Дарбу и их свойства.
- •1.7.3. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции на сегменте.
- •1.7.4. Равномерная непрерывность функции на множестве.
- •1.7.5. Основные свойства определенного интеграла.
- •1.7.6. Первая и вторая формулы среднего значения.
- •1.7.7. Интеграл с переменным верхним пределом.
- •1.7.8. Основная формула интегрального исчисления или формула Ньютона-Лейбница.
- •1.7.9. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.
- •1.7.10. Спрямляемость и длина дуги плоской кривой.
- •1.7.10.1. Вычисление длины дуги плоской кривой при различных способах ее задания.
- •1.7.11. Квадрируемость и площадь плоской фигуры.
- •1.7.12. Объем тела вращения.
1.7. Определенный интеграл и его геометрические приложения Для замечаний
1.7. Определенный интеграл и его геометрические приложения
1.7.1. Интегрируемость функции на сегменте.
Рис.1 |
Пусть функция f(x) задана на сегменте [a,b] (a<b). Обозначим че- рез Т разбиение [a,b] при помощи не совпадающих друг с другом то- чек a=x0<x1<...<xn=b на n частич- ных сегментов [x0,x1]...[xn-1, xn]. Точки x0,x1,...,xn называются точ- ками разбиения Т. Пусть - произвольная точка частичного сегмента [xi-1,xi]. Разность xi=xi -xi-1 будем называть длиной частич- ного сегмента [xi-1,xi]. |
Определение 1. Число , где
называется интегральной суммой функции f(x), соответствующей данному разбиению Т сегмента [a,b] и данному выбору промежуточных точек на частичных сегментах [xi-1,xi].
Обозначим - диаметр разбиения Т сегмента [a,b].
Геометрический смысл интегральной суммы . Рассмотрим криволинейную трапецию - фигуру, ограниченную графиком функции f(x) (будем считать ее положительной и непрерывной), двумя ординатами, проведенными в точках a и b оси абсцисс и осью абсцисс.
Интегральная сумма - площадь ступенчатой фигуры (рис.1).
Определение 2. Число I называется пределом интегральных сумм при 0, если для >0 можно указать такое положительное число , что для любого разбиения Т сегмента [a,b], максимальная длина частичных сегментов которого <, независимо от выбора точек на сегментах [xi-1,xi] выполнено неравенство
Если интегральная сумма при 0 имеет пределом число I, то будем записывать это так .
Определение 3. Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на [a,b], если существует конечный предел I интегральных сумм этой функции при 0. Указанный предел I называется определенным интегралом функции f(x) по [a,b] и обозначается так:
Из рисунка видно, что определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, определяемой графиком функции f(x) на [a,b].
Справедлива следующая теорема. Неограниченная на [a,b] функция f(x) не интегрируема на этом сегменте.
Доказательство: Пусть функция f(x) неограничена на [a,b], тогда она неограничена на некотором частичном сегменте [xk-1,xk] любого данного разбиения Т сегмента [a,b]. Тогда слагаемое f( )xk интегральной суммы , отвечающее этому разбиению Т, за счет выбора т. может быть сделано как угодно большим по абсолютной величине, т.е. интегральные суммы , отвечающие любому разбиению Т, не ограничены, и поэтому не существует конечного предела интегральных сумм. Итак, будем рассматривать лишь ограниченные на [a,b] функции.
Замечание: Отметим, что вообще говоря, не всякая ограниченная на [a,b] функция является интегрируемой на этом сегменте.
Проверьте это положение для функции Дирихле (значения в рациональных точках 1, а в иррациональных - 0). Эта функция не интегрируема на [a,b].
1.7.2. Верхние и нижние суммы Дарбу и их свойства.
Пусть функция f(x) - ограниченная на [a,b] функция, т.е. (m,M) (x[a,b]):[m f(x) M]. Т - разбиение [a,b] точками a=x0<x1<...<xn=b.
Обозначим через Mi - точную верхнюю и через mi - точную нижнюю грани этой функции на [xi-1,xi].
Суммы
называются верхней и нижней суммами функции f(x) для данного разбиения Т сегмента [a,b].
Заметим, что любая интегральная сумма данного разбиения Т сегмента [a,b] заключена между верхней и нижней суммами S и s этого разбиения.
Геометрический смысл верхней и нижней сумм. Рассмотрим для простоты положительную и непрерывную функцию f(x) и криволинейную трапецию, определяемую этой функцией.
Рис.1 Рис.2
Mi и mi в случае непрерывности функции представляют собой максимальное и минимальное значения этой функции на частичном сегменте [xi-1,xi] разбиения Т, S и s - площади заштрихованных ступенчатых фигур, изображенных на рисунках 1 и 2 соответственно.
Свойства верхних и нижних сумм подробно изложены в [2] (стр. 321-323), поэтому приведем лишь формулировки теорем и прокомментируем каждую из них с помощью рисунков.
Свойство 1. Для любого фиксированного разбиения Т и для любого >0 промежуточные точки на сегментах [xi-1,xi] можно выбрать так, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам 0S- <. Точки можно выбрать и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам 0 -s<.
Рис. 3 |
На рисунке 3 изображен графикфункции f(x), заданной на сегменте [a,b]. - промежуточные точки на частичных сегментах [xi-1,xi] Преобразуем разность S- = M1x1 + M2x2 +... Mixi +...+ Mnxn -- f( )x1- f( )x2-...- -f( )xi -...- f( )xn = = [M1-f( )]x1+[M2-f( )]x2+...+ +[Mi- f( )]xi+...+[Mn- f( )]xn. |
Здесь S - верхняя сумма. Каждое слагаемое последней суммы представляет собой площадь заштрихованного прямоугольника, поэтому S- есть сумма площадей заштрихованных прямоугольников, которая, очевидно, может быть сколь угодно уменьшена за счет выбора точек (если промежуточные точки выбирать близкими к точкам сегментов [xi-1,xi], в которых функция f(x) принимает значения Mi).
Для нижних сумм рассуждения проводятся аналогичным образом.
Свойство 2. Если разбиение сегмента [a,b] получено путем добавления новых точек к точкам разбиения Т этого сегмента, то верхняя сумма разбиения не больше ( S) верхней суммы S разбиения Т, а нижняя сумма разбиения не меньше (s ) нижней суммы s разбиения Т.
Рис. 4 Рис. 5
На рис. 4 точки x0, x1, x2, x3 - точки разбиения сегмента [a,b], соответствующие разбиению Т. Кружками отмечены новые точки t1, t2, которые вместе с точками xi дают новое разбиение сегмента [a,b].
Сегменты [x0,x1] и [x2,x3] поделились на сегменты [x0,t1], [t1,x1] и [x2,t2], [t2,x3], соответственно. Верхняя сумма на сегментах [x0,t1] и [x2,t2] уменьшилась на величину, равную площадям прямоугольников ABCD и KLMN, а на остальных частичных сегментах осталась без изменения, поэтому верхняя сумма разбиения уменьшилась по сравнению с верхней суммой S.
На рис.5 приведена аналогичная картина для нижних сумм.
Свойство 3. Пусть и любые два разбиения [a,b]. Тогда нижняя сумма одного из этих разбиений не превосходит верхнюю сумму другого. Именно, если , ; , соответственно нижние и верхние суммы разбиений и , то ; < .
Рис.6 |
На рис. 6 одинарной штриховкой показана верхняя сумма разбиения сегмента [a,b] точками x0=a<x1<x2<x3=b, а двойной штриховкой - нижняя сумма разбиения сегмента [a,b] точками 0=a<1<2<3<4=b |
Свойство 4. Множество верхних сумм данной функции f(x) для всевозможных разбиений сегмента [a,b] ограничено снизу. Множество нижних сумм ограничено сверху.
Обозначим через точную нижнюю грань множества верхних сумм , а через точную верхнюю грань множества нижних сумм . Числа и называются соответственно нижним и верхним интегралами Дарбу от функции f(x). Легко показать, что
Свойство 5. Пусть разбиение [a,b] получено из разбиения Т добавлением к последнему р новых точек, и пусть , ; s, S - соответственно нижние и верхние суммы разбиений и Т. Тогда для разностей S- и -s может быть получена оценка, зависящая от максимальной длины частичных сегментов разбиения Т, числа р добавленных точек и точных верхней и нижней граней М и m функции f(x) на сегменте [a,b], а именно: S- (M-m)р и -s (M-m)р
Рис.7
На рис.7 точки x0 = a < x1 < x2 < x3 < x4 = b соответствуют разбиению Т сегмента [a,b], а две добавленные точки 1 и 2 образуют вместе с точками xi: x0=a<1<x1<x2<2<x3<x4=b разбиение этого сегмента.
Одинарной штриховкой показана верхняя сумма S разбиения Т, а двойной штриховкой два прямоугольника, сумма площадей которых дает уменьшение S до величины . Если через М и m обозначить точные верхнюю и нижнюю грани функции f(x) на [a,b], а через максимальную длину частичного сегмента [xi-1,xi] разбиения Т, то площадь прямоугольника ABCD, равная (M-m)x будет больше площади каждого из двух прямоугольников, заштрихованных двойной штриховкой, отсюда очевидна оценка: S- (M-m)2 (здесь 2 - число добавленных точек). Для нижних сумм может быть дана аналогичная интерпретация.
В заключение данной темы приведем без доказательства формулировку теоремы, известной под названием леммы Дарбу, имеющей фундаментальное значение для построения теории в теме “Определенный интеграл”.
Лемма Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу и от функции f(x) по сегменту [a,b] являются соответственно пределами верхних и нижних сумм при 0, т.е. и .
Замечание 1. Число , например, называется пределом верхних сумм S при 0, если .
Замечание 2. В случае, когда = = I лемма Дарбу позволяет переходить к пределам в неравенствах вида при стремлении к нулю диаметра разбиения Т сегмента [a,b]. При этом sI и SI, откуда .