1.7.10.1. Вычисление длины дуги плоской кривой при различных способах ее задания.

1) Если кривая L является графиком функции y=f(x) и непрерывна на [a,b], то кривая L спрямляема, и длина l ее дуги вычисляется по формуле

.

Доказательство. График функции представляет кривую, определяемую параметрическими уравнениями x=t, y=f(t), a  t  b, и выполнены условия теоремы о достаточных условиях спрямляемости и длине дуги плоской кривой. Полагая (t)=t, (t)=f(t) и заменяя переменную интегрирования t на x, получим .

2) Кривая L определяется полярным уравнением r=r(),₁    ₂ и r() имеет на [₁, ₂] непрерывную производную, тогда кривая L спрямляема, и длина l дуги L может быть найдена по формуле

Формула перехода от полярных координат к декартовым координатам , следовательно, L определяется параметрическими уравнениями, в которых функции удовлетворяют условиям теоремы, откуда следует, что

Примеры. 1) Найти длину линии, заданной уравнениями .

Перейдем к параметрическим уравнениям

2) Найти длину дуги полукубической параболы у²=х³, заключенной между точками (0,0) и (4,8).

Так как х0, то и Следовательно, .

3. Найти длину первого витка архимедовой спирали =а.

Первый виток архимедовой спирали образуется при изменении полярного угла  от 0 до 2 Поэтому .

1.7.11. Квадрируемость и площадь плоской фигуры.

Определение 1. Плоской фигурой Q будем называть конечную часть плоскости, ограниченную простой замкнутой кривой L. Кривая L в этом случае называется границей фигуры Q.

Будем говорить, что многоугольник вписан в фигуру Q, если каждая точка этого многоугольника принадлежит фигуре Q или ее границе.

Если все точки плоской фигуры и ее границы принадлежат некоторому многоугольнику, то говорят, что указанный многоугольник описан вокруг фигуры Q. Очевидно, что площадь любого вписанного в фигуру Q многоугольника

S_i не больше площади любого описанного вокруг фигуры Q многоугольника S_d(S_iS_d). Обозначим через и числовые множества площадей вписанных в фигуру Q и описанных вокруг плоской фигуры Q многоугольников. Множество ограничено сверху (площадью любого описанного вокруг Q многоугольника), а множество ограничено снизу (например, числом нуль). Обозначим через и . Числа и называются нижней и верхней площадью плоской фигуры Q соответственно.

Лемма. Нижняя площадь фигуры Q не больше верхней площади этой фигуры, т.е. 

Доказательство: Предположим противное, т.е. > и положим

. Так как , то найдется такой вписанный в фигуру Q многоугольник, площадь Si которого (1)

Так как , то найдется такой описанный вокруг фигуры Q многоугольник, площадь которого S_d будет меньше числа . . (2)

Из неравенств (1) и (2) следует, что S_d<S_i, чего не может быть.

Определение 2. Плоская фигура Q называется квадрируемой, если верхняя площадь этой фигуры совпадает с ее нижней площадью . При этом число Р= = называется площадью фигуры Q.

Теорема (о необходимом и достаточном условии квадрируемости плоской фигуры). Для того, чтобы плоская фигура Q была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа  можно было указать такой описанный вокруг фигуры Q многоугольник и такой вписанный в фигуру Q многоугольник, разность S_d-S_i площадей которых была бы меньше , S_d-S_i<

Доказательство. Необходимость. Пусть фигура Q квадрируема, т.е. = =Р.

Так как и , то для любого >0 можно указать такой вписанный в фигуру Q многоугольник, площадь

S_i которого удовлетворяет неравенству (3) и такой описанный около фигуры Q многоугольник, площадь S_d которого удовлетворяет неравенству (4).

Складывая неравенства (3) и (4) получим S_d-S_i<.

Достаточность. Пусть S_d и S_i площади многоугольников, для которых S_d-S_i< и так как S_i    S_d, то - <. Так как  - произвольное число, то = и фигура квадрируема.

Теорема доказана.

Площадь криволинейной трапеции.

Рассмотрим криволинейную трапецию - фигуру, ограниченную графиком непрерывной и неотрицательной функции f(x), заданной на сегменте [a,b], ординатами, проведенными в точках а и b и отрезком оси Ох между точками а и b. Докажем теорему.

Теорема. Криволинейная трапеция представляет собой квадрируемую фигуру, площадь Р которой может быть вычислена по формуле

.

Доказательство. Так как функция f(x)C[a,b], то эта функция интегрируема на этом сегменте, поэтому , где S и s - верхняя и нижняя суммы разбиения Т соответственно.

S=S_d и s=S_i, где S_d и S_i - площади ступенчатых многоугольников, причем многоугольник площади S_d содержит криволинейную трапецию, а площади S_i - содержится в ней. Поскольку S_d-S_i<, то из теоремы о необходимом и достаточном условии квадрируемости плоской фигуры вытекает, что криволинейная трапеция квадрируема. Поскольку

и , то .

Замечание 1. Если функция f(x) непрерывна и знакопеременна на сегменте

[a,b], то определенный интеграл будет давать алгебраическую сумму площадей, заключенных между осью Ох, графиком функции f(x) и

ординатами x=a, x=b. При этом площади над осью Ох будут получаться со знаком «+», а под осью Ох со знаком «-».

Для того, чтобы получить сумму этих площадей в обычном смысле, нужно вычислить . Так, сумма заштрихованных на рисунке площадей равна

.

Замечание 2. Площадь, заключенная между двумя кривыми

y1=f1(x), y2=f2(x) и двумя ординатами: х=а, х=b в том случае, когда одна кривая лежит над другой, т.е. f2(x)f1(x) на сегменте [a,b], выражается интегралом .

Если обе кривые лежат над осью Ох, то из чертежа видно, что

.

В общем случае, если кривые как угодно расположены относительно оси Ох, можно прийти к разобранному, если передвинуть ось Ох насколько вниз, чтобы обе кривые оказались над осью Ох. В этом случае к обеим функциям f₂(x) и f₁(x) прибавляется одно и то же постоянное слагаемое, причем разность f₂(x)-f₁(x) остается без изменения.

Площадь плоской фигуры в полярных координатах.

Пусть кривая L задана в полярной системе координат уравнением r=r(),[,]. Будем считать, что r() непрерывна и неотрицательна на сегменте [,]. Криволинейным сектором называется плоская фигура, ограниченная кривой L и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы  и . Сформулируем без

доказательства следующую теорему.

Теорема. Криволинейный сектор представляет собой квадрируемую фигуру, площадь которой может быть вычислена по формуле

.

Примеры.

1. Найти площадь фигуры, заключенной между кривыми y=5-x² и

y=x-1. Решая совместно уравнения , получим

Следовательно,

2. Найти площадь фигуры, ограниченной одним лепестком кривой (лемниската).

Правая часть уравнения данной кривой неотрицательна при тех значениях , для которых cos20, поэтому первый лепесток лежит в угле, где , т.е. . Следовательно,