Описание явлений переноса в газах

Процессы переноса в газах могут быть описаны с использованием молекулярно-кинетической теории. Такое описание дает правильные выражения для уравнений переноса и приближенные (с точность до постоянного множителя порядка единицы) формулы для расчета коэффициентов переноса. Полученные значения для коэффициентов переноса оказываются несколько заниженными по сравнению с их выражениями, получаемыми при точных расчетах, которые обычно проводятся с использованием методов статистической физики.

Будем считать, что молекулы газа совершают хаотическое тепловое движение. В этом случае можно предположить, что вероятность движения молекулы в любом направлении одинакова. Так как таких возможных направлений движения всего шесть, соответствующих движению в положительном и отрицательном направлении вдоль осей , и , то плотность потока частиц в любом из этих направлений может быть определена по формуле:

,

(6.6)

где: - средняя скорость теплового движения молекул, - концентрация молекул газа.

На рис. 6.1 схематически изображен процесс переноса некоторой физической величины через площадку . Будем считать, что величина изменяется в зависимости от координаты . В качестве переносимой величины может выступать масса, энергия, импульс и т.д. При этом считаем, что переносимую величину можно отнести к одной молекуле. Если речь идет, например, о переносе энергии, то отнесенной к одной молекуле величиной будет полная энергия молекулы.

Рис. 6.1. Схема к выводу уравнения переноса

Через площадку в направлении оси будет проходить поток молекул , а в противоположном направлении соответственно поток . В случае выполнения принципа детального равновесия, плотности потоков молекул в двух противоположных направлениях должны быть одинаковыми: или . Переносимый в направлении оси поток величины отличается от потока этой величины, переносимого в обратном направлении. Это связано с тем, что в рассматриваемом газе через площадку в направлении оси будут проходить молекулы, характеризуемые величиной , а в противоположном - соответственно величиной , где - длина свободного пробега молекул газа, численно равная перемещению, которое молекула газа проходит без соударения с другими молекулами. Тогда плотность потока величины с учетом выражения (6.6) можно вычислить по формуле:

.

(6.7)

Считая длину свободного пробега малой величиной, функцию (и соответственно функцию ) можно разложить в ряд с сохранением только слагаемого первого порядка малости:

.

(6.8)

Тогда разность значений в формуле (6.7) принимает вид:

.

(6.9)

Окончательно получаем уравнение переноса для плотности потока физической величины :

,

(6.10)

а соответственно для потока имеем:

.

(6.11)

Стоящие в полученных выражениях (6.10) и (6.11) величины средней скорости , концентрации молекул и переносимой физической величины зависят только от координаты и принимают значения, соответствующие точке с координатой .

Полученное уравнение переноса применимо для описания явлений диффузии, теплопроводности и вязкости в газах при отсутствии в них макроскопического перемешивания.

Проведем описание диффузии примеси одного газа в другом. Для простоты будем считать, что оба газа имеют практически одинаковые молекулы и их суммарная концентрация постоянна и равна величине : , где и - концентрации газов. Введение последнего условия необходимо для того, чтобы в системе не возникало макроскопическое перемешивание газов, а их взаимное проникновение происходило только за счет диффузии.

Пусть концентрация диффундирующего газа зависит только от одной координаты : . Тогда физической величиной, перенос которой в данном случае осуществляется вследствие диффузии, является относительная концентрация газа, которая также зависит только от переменной :

.

(6.12)

Подстановка этого выражения в формулу (6.10) дает уравнение диффузии в виде:

.

(6.13)

Соответственно выражение для потока частиц принимает форму:

,

(6.14)

где введенный коэффициент называется коэффициентом диффузии:

.

(6.15)

Выражения, аналогичные формулам (6.13) и (6.14), могут быть записаны и для второго газа, имеющего концентрацию .

Уравнение (6.15) позволяет также записать формулу, описывающую поток массы. Считая, что молекула газа имеет массу , умножим на эту величину уравнение (6.15) и учтем связь величины потока массы и потока концентрации частиц : . Тогда имеем:

,

(6.16)

где: - плотность диффундирующего газа.

С учетом формулы для длины свободного пробега (2.52):

,

(6.17)

где - эффективное сечение молекулы газа, и выражения (5.71) для средней скорости:

,

(6.18)

выражение для коэффициента диффузии приобретает вид:

.

(6.19)

Как следует из этой формулы, коэффициент диффузии растет с повышением температуры: и уменьшается при увеличении концентрации: . Уменьшение коэффициента диффузии при увеличении концентрации молекул связано с уменьшением длины свободного пробега , что приводит к более частым соударениям диффундирующих частиц с молекулами газа.

При описании теплопроводности в качестве переносимой величины выступает энергия теплового движения молекулы газа:

,

(6.20)

где: - число степеней свободы молекулы, а температура считается зависящей только от координаты : . Тогда подстановка формулы (6.20) в выражение (6.10) дает уравнение теплопроводности:

.

(6.21)

Если учесть соотношение

,

(6.22)

где: - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме, - плотность газа, то уравнение (6.21) приобретет форму

,

(6.23)

а выражение для потока теплоты через площадку площадью , перпендикулярную оси , соответственно запишется в виде:

.

(6.24)

В формуле (6.24) введен коэффициент теплопроводности, который равен:

.

(6.25)

При подстановке в эту формулу выражений для длины свободного пробега (6.17) и средней скорости (6.18) имеем:

.

(6.26)

Из этой формулы следует, что с повышением температуры, коэффициент теплопроводности тоже увеличивается: . Но в отличие от коэффициента диффузии, этот коэффициент не зависит от концентрации молекул газа.

Эта особенность связана с тем, что в более плотном газе в теплопроводности участвует большее количество молекул. Но при этом, вследствие меньшей длины свободного пробега , энергия передается на меньшие расстояния. Для более разреженного газа ситуация обратная: в переносе энергии участвует меньшее число молекул, но этот перенос осуществляется на большие расстояния.

Отметим так же, что независимость теплопроводности от концентрации молекул газа справедлива только в том случае, если в нем отсутствует макроскопическое перемешивание, и перенос энергии осуществляется без переноса вещества.

Явление вязкости газа может быть описано с помощью уравнения (6.10) при подстановке в него в качестве переносимой величины импульса молекулы при упорядоченном движении газа в направлении, перпендикулярном оси :

,

(6.27)

где: - скорость течения газа в направлении, перпендикулярном оси , в точке с координатой : . С учетом формулы (6.27) получим уравнение вязкости в виде:

.

(6.28)

Тогда формула для расчета потока импульса приобретет вид

,

(6.29)

где коэффициент вязкости определяется с помощью следующего выражения

.

(6.30)

Величина имеет смысл силы, с которой слои газа, двигающиеся в направлении, перпендикулярном оси , действуют друг на друга.

После подстановке в формулу (6.30) выражений (6.17) и (6.18) имеем:

.

(6.31)

Температурная зависимость коэффициента вязкости аналогична зависимости для коэффициента теплопроводности: , и этот коэффициент, также как и теплопроводность, не зависит от концентрации молекул газа (плотности газа).

Независимость коэффициента вязкости от плотности газа имеет то же объяснение, что и для теплопроводности. С повышением плотности увеличивается число молекул, переносящих импульс, но уменьшаются расстояния, на которые этот перенос осуществляется.

Как было отмечено выше, коэффициенты диффузии , теплопроводности и вязкости возрастают с увеличением температуры, пропорционально . Указанная зависимость связана с возрастанием пропорционально средней скорости движения молекул газа (см. формулу (6.18)). Но, как показывают экспериментальные исследования, эти коэффициенты с повышением температуры растут несколько быстрее, чем . Это связано с тем, что с увеличением температуры происходит некоторое уменьшение эффективного сечения молекул газа , а величина стоит в знаменателях формул для коэффициентов диффузии (6.19), теплопроводности (6.26) и вязкости (6.31).

Между всеми полученными коэффициентами переноса существует общее соотношение, имеющее следующий вид:

,

(6.32)

которое позволяет по результатам измерений одного из коэффициентов переноса вычислять все остальные.

Кроме этого, полученные соотношения дают возможность по экспериментально измеренным коэффициентам диффузии, теплопроводности или вязкости определять длину свободного пробега молекулы газа и её эффективное сечение. Это, в свою очередь, позволяет находить диаметр молекулы.

В заключение отметим еще раз, что полученные выражения для коэффициентов переноса являются приближенными с точностью до некоторого безразмерного множителя порядка единицы.

Задача 6.1. Определить зависимость от температуры коэффициентов диффузии, теплопроводности и вязкости для газа, находящегося при постоянном давлении.

Решение: Будем считать, что уравнение состояния газа имеет вид:

.

Тогда выразив из этой формулы концентрацию газа и подставив в выражение (6.19), получим формулу для коэффициента диффузии:

.

Как следует из этой формулы, при указанном процессе коэффициент диффузии пропорционален температуре в степени : .

Так как коэффициенты теплопроводности и вязкости не зависят от концентрации молекул газа, и, следовательно, от изменения его давления, то для определения их температурной зависимости можно использовать формулы (6.26) и (6.31) соответственно.

В термодинамически неравновесных системах происходят особые необратимые процессы, называемые явлениями переноса, в результате которых осуществляется пространственный перенос массы, импульса, энергии. К явлениям переноса относятся теплопроводность (перенос энергии), диффузия (перенос массы) и внутреннее трение (перенос импульса). Ограничимся одномерными явлениями переноса. Систему отсчета будем выберать так, чтобы ось х была направлена в сторону в направления переноса. 1. Теплопроводность. Если в первой области газа средняя кинетическая энергия молекул больше, чем во второй, то вследствие постоянных столкновений молекул с течением времени происходит процесс выравнивания средних кинетических энергий молекул, т. е., выравнивание температур. Перенос энергии в форме теплоты подчиняется закону Фурье: (1) где j_E — плотность теплового потока — величина, которая определяется энергией, переносимой в форме теплоты в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х, λ — теплопроводность, — градиент температуры, равный скорости изменения температуры на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке. Знак минус говорит о том, что во время теплопроводности энергия перемещается в направлении убывания температуры (поэтому знаки j_E и – противоположны). Теплопроводность λ равна плотности теплового потока при градиенте температуры, равном единице. Можно показать, что (2) где с_V — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме (количество теплоты, которое необходимо для нагревания 1 кг газа на 1 К при постоянном объеме), ρ — плотность газа, <ν> — средняя скорость теплового движения молекул, <l> — средняя длина свободного пробега. 2. Диффузия. При происходит самопроизвольное проникновение и перемешивание частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей и даже твердых тел; диффузия есть обмен масс частиц этих тел, при этом явление возникает и продолжается, пока существует градиент плотности. Во времена становления молекулярно-кинетической теории по вопросу явления диффузии возникли противоречия. Поскольку молекулы перемещаются в пространстве с огромными скоростями, то диффузия должна происходить очень быстро. Если же открыть в комнате крышку сосуда с пахучим веществом, то запах распространяется довольно медленно. Но здесь нет противоречия. При атмосферном давлении молекулы обладают малой длиной свободного пробега и, при столкновениях с другими молекулами, приемущественно «стоят» на месте. Явление диффузии для химически однородного газа подчиняется закону Фика: (3) где j_m — плотность потока массы — величина, определяемая массой вещества, диффундирующего в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х, D — диффузия (коэффициент диффузии), dρ/dx — градиент плотности, который равен скорости изменения плотности на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке. Знак минус говорит о том, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности (поэтому знаки j_m и dρ/dx противоположны). Диффузия D численно равна плотности потока массы при градиенте плотности, равном единице. Согласно кинетической теории газов, (4) 3. Внутреннее трение (вязкость). Суть механизма возникновения внутреннего трения между параллельными слоями газа (жидкости), которые движущутся с различными скоростями, есть в том, что из-за хаотического теплового движения осуществляется обмен молекулами между слоями, в результате чего импульс слоя, который движется быстрее, уменьшается, который движется медленнее — увеличивается, что приводит к торможению слоя, который движется быстрее, и ускорению слоя, который движется медленнее. Как известно, сила внутреннего трения между двумя слоями газа (жидкости) подчиняется закону Ньютона: (5) где η — динамическая вязкость (вязкость), dν/dx — градиент скорости, который показывает быстроту изменения скорости в направлении х, перпендикулярном направлению движения слоев, S — площадь, на которую действует сила F. Согласно второму закону Ньютона взаимодействие двух слоев можно рассматривать как процесс, при котором в единицу времени от одного слоя к другому передается импульс, который по модулю равен действующей силе. Тогда выражение (5) можно записать в виде (6) где j_p — плотность потока импульса — величина, которая определяется определяемая полным импульсом, переносимым в единицу времени в положительном направлении оси х через единичную площадку, перпендикулярную оси х, dν/dx — градиент скорости. Знак минус говорит о том, что импульс переносится в направлении убывания скорости (поэтому знаки j_p и dν/dx противоположны). Динамическая вязкость η численно равна плотности потока импульса при градиенте скорости, равном единице; она вычисляется по формуле (7) Из сопосавления формул (1), (3) и (6), которые описывают явления переноса, следует, что закономерности всех явлений переноса сходны между собой. Эти законы были известны еще задолго до того, как они были обоснованы и получены из молекулярно-кинетической теории, которая позволила установить, что внешнее сходство их математических выражений является следствием общностью лежащего в основе явлений теплопроводности, диффузии и внутреннего трения молекулярного механизма перемешивания молекул в процессе их хаотического движения и столкновений друг с другом. Рассмотренные законы Фурье, Фика и Ньютона не вскрывают молекулярно-кинетической сути коэффициентов λ, D и η. Выражения для коэффициентов переноса получаются из кинетической теории. Они записаны без вывода, поскольку строгое и формальное рассмотрение явлений переноса довольно громоздко, а качественное — не имеет смысла. Формулы (2), (4) и (7) дают связь коэффициентов переноса и характеристики теплового движения молекул. Из этих формул следуют простые зависимости между λ, D и η: и Используя эти формулы, можно по найденным из опыта одним величинам найти другие.

http://fn.bmstu.ru/phys/bib/physbook/tom2/ch5/texthtml/ch5_2.htm