- •Классическая модель линейной регрессии Задания:
- •Порядок выполнения работы в системе Excel
- •1. Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии с полным перечнем факторов по данным в соответствии с вариантом.
- •2. Дайте сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних (общих) коэффициентов эластичности.
- •3. Оцените с помощью f-критерия Фишера-Снедекора значимость уравнения линейной регрессии и показателя тесноты связи.
- •4. Оцените статистическую значимость коэффициентов регрессии с помощью t- критерия Стьюдента.
- •5. Оцените качество уравнения через среднюю ошибку аппроксимации.
- •6. Рассчитайте матрицу парных коэффициентов корреляции и отберите информативные факторы в модели. Укажите коллинеарные факторы.
- •7. Постройте модель в естественной форме только с информативными факторами и оцените ее параметры.
- •8. Постройте модель в стандартизованном масштабе и проинтерпретируйте ее параметры.
- •9. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение факторов составляют 80% от их максимальных значений.
- •10. Рассчитайте ошибки и доверительный интервал прогноза для уровня значимости .
- •11. По полученным результатам сделайте экономический вывод.
8. Постройте модель в стандартизованном масштабе и проинтерпретируйте ее параметры.
Вид уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:
,
где - стандартизованные переменные: , . j = 3, 4.
Одним из способов определения стандартизованных коэффициентов регрессии:
, j=3,4.
- стандартное отклонение, определим из таблицы «Описательная статистика», изображенной на рисунке 5.
;
.
Уравнение регрессии в стандартизованном масштабе примет вид:
,
Стандартизованные коэффициенты регрессии показывают на сколько «сигм» изменится в среднем результат (У), если соответствующий фактор Xj изменится на одну «сигму» при неизменном среднем уровне других факторов.
В нашем случае показывает, что при увеличении числа орудий поверхностной обработки почв на одну «сигму» урожайность увеличится на 0,385 «сигм», при фиксированном среднем влиянии всех остальных факторов. Аналогичные выводы для .
9. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение факторов составляют 80% от их максимальных значений.
Максимальные значения факторов представлены в таблице результатов применения инструмента Описательная статистика, отраженной на рисунке 5. Вектор максимальных значений факторов (х3; х4) = (11,51; 1,37).
Определим 80% от Хmax путем умножения каждой координаты вектора на 0,8. Вектор прогнозных значений фактора: (9,208; 1,096).
Подставляя значения Хр в уравнение регрессии получаем =13,675.
10. Рассчитайте ошибки и доверительный интервал прогноза для уровня значимости .
Доверительный интервал прогнозного значения функции регрессии определяется по формуле ,
- предельная ошибка прогноза;
табличное значение критерия Стьюдента при уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы v=n-p-1. В нашем случае =2,11.
- стандартная ошибка прогноза,
где S(y) – стандартная ошибка регрессии, определяемая по таблице «ВЫВОД Итогов»;
,
где ∆ - определитель матрицы (ХТХ);
А* - присоединенная матрица или матрица алгебраических дополнений матрицы (ХТХ), элементы которой определяются как , |Mij| - определитель матрицы, получаемый вычеркиванием из (ХТХ) i-й строки и j-го столбца.
В ППП Excel Транспонирование матрицы производится следующим образом:
1. в главном меню выберете последовательно пункты Вставка / Функции / Ссылки и массивы / Трансп;
2. заполните диалоговое окно ввода данных:
Массив – диапазон, содержащий элементы матрицы.
Щелкните по кнопке ОК.
3. Выделите диапазон, в котором должны находиться итоги, начиная с ячейки, содержащей формулу. Нажмите F2, а затем Ctrl + Shift + Enter.
Перемножение матриц производится следующим образом:
1. в главном меню выберете последовательно пункты Вставка / Функции / Математические / МУМНОЖ;
2. заполните диалоговое окно ввода данных:
Массив 1 – диапазон, содержащий элементы первой матрицы;
Массив 2 – диапазон, содержащий элементы второй матрицы.
Щелкните по кнопке ОК.
Для получения определителя матрицы (обратной матрицы) необходимо проделать следующие операции:
1. в главном меню выберете последовательно пункты Вставка / Функции / Математические / МОПРЕД (МОБР);
2. заполните диалоговое окно ввода данных:
Массив – диапазон, содержащий элементы матрицы.
Щелкните по кнопке ОК.
Следует помнить, что матрица Х имеет следующий вид: .
Матрица (ХТХ) может быть определена с помощью рассмотренных функций транспонирования и умножения матриц, а также элементы матрицы можно рассчитать, исходя из ее общего вида: .
Рассчитаем матрицу . Результаты представим в таблице, изображенной на рисунке 11.
Тогда .
Воспользовавшись функцией нахождения обратной матрицы, результат применения которой представлен на рисунках 12 – 13, получим
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 11- Результаты расчета элементов матрицы (ХТХ)
Рисунок 12 – Диалоговое окно функции МОБР
Для (1; 9,208; 1,096) рассчитаем матрицу
= 0,58921.
Порядок и результаты расчетов представлены на рисунке 13.
Стандартная ошибка прогноза: = 2,027.
Для =2,11 предельная ошибка прогноза составит .
Доверительный интервал прогноза: , .
Таким образом, урожайность зерновых культур будет находиться в интервале от 9,398 ц/га до 17, 952 ц/га при числе орудий поверхностной обработки почвы на 100 га 9,2 шт. и 1,096 кг удобрений, расходуемых на гектар, с вероятностью 95%.
Рисунок 13 – Результат вычисления матрицы