Линейные динамические системы

Линейные инвариантных к сдвигу системы составляют особый класс динамических систем. Для них существует общий аналитический метод их описания и, следовательно, анализа, синтеза и реализации.

Система называется инвариантной к сдвигу (стационарной) если реакция системы зависит не от абсолютного времени, а только от сдвига по времени относительно текущего момента времени. Формально свойство инвариантности к сдвигу можно записать в следующем виде:

если y(t) = Q[x(t)], то Q[x(t-t₀)] = y(t-t₀).

Система называется линейной, если для нее выполняется принцип линейной суперпозиции:

,

где a_i – скаляры (коэффициенты).

Если множество входов { x_i(t) } образует линейное векторное пространство, то существует однозначное представление любой функции x(t) через базис:

где φ_i(t) – элементы базиса; a_i – коэффициенты разложения (проекции) по элементам базиса.

В этом случае реакция линейной системы на произвольное воздействие x(t) может быть представлена следующим образом:

где – реакция системы на i‑ю базисную функцию φ_i(t).

Отсюда видно, что реакция линейной системы на произвольное воздействие полностью и однозначно определяется набором реакций {h_i(t)} системы на базисные функции {φ_i(t)} и коэффициентами {a_i} разложения входного воздействия по этому же базису.

В области непрерывных линейных инвариантных к сдвигу систем особую роль играет разложение по базису {φ(τ,t)}, где φ(τ,t) = δ(t-τ) (дельта-функция Дирака), τR (R множество вещественных чисел). Имеет место представление через этот базис входного воздействия (в виде интегральной свертки):

где a(τ) = x(τ), поскольку разложение по базису {δ(t-τ)} совпадает с исходной функцией (фильтрующее свойство дельта‑функции).

Согласно свойству линейности

где h(t) = Q[δ(t)] – импульсный отклик (импульсная характеристика) линейной инвариантной к сдвигу системы.

Обозначив через * операцию интегральной свертки, можно записать кратко:

Благодаря ряду полезных свойств преобразования Фурье (линейность, теорема о свертке) имеется отображение этого соотношения в частотную область, что лежит в основе спектрального метода анализа линейных систем, суть которого иллюстрируется диаграммой:

где H(ω) – частотная характеристика линейной системы,

H(ω) = [h(t)]; Y(ω) = [y(t)]; X(ω) = [x(t)].

Вывод: Линейная инвариантная к сдвигу система полностью и вполне однозначно определяется импульсным откликом h(t) или соответствующей ему частотной характеристикой H(ω) = A(ω) exp(jφ(ω)), где A(ω) –  амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), jφ(ω) –  фазо-частотная характеристика (ФЧХ) линейной системы. Импульсная характеристика причинных систем обязательно равна нулю при t<0.

Покадровый формат модели динамической системы

Необходимыми условиями возможности применения рассматриваемого способа перехода к покадровому формату являются два свойства, лежащих в основе представления динамической системы в пространстве состояний: причинность и стационарность

Ключевыми моментами являются рекурсия кадров и кадровые переменные состояния.

Идея рекурсии состоит в неограниченном повторе относительно независимых кадров обработки конечных сегментов сигналов. Рекурсия позволяет снять проблему обработки бесконечно длинных отрезков сигналов путем замены ее на обработку «столько сколько надо», то есть на обработку конечных, но заранее не ограниченных отрезков сигналов.

Идея кадровых переменных состояния – дает универсальный способ «сшивания» результатов, полученных локальной моделью на отдельных кадрах обработки. Вся информация о предыстории обработки на предыдущем кадре передается, как «эстафетная палочка», в последующий кадр посредством кадровых переменных состояния, которые выполняют функции своеобразного «почтового ящика» между соседними кадрами, во всех остальных отношениях полностью независимых.

Разобьем ось t на кадры обработки (Рис. 6 .7), то есть на интервалы длительностью T_K. При этом получим дискретное (но бесконечное) множество моментов {…t_k-1, t_k, t_k+1,…}, где t_k=kT_K, k=…,-1,0,1,… Они определяют границы кадров. Введем дополнительное множество Z_K и назовем его множеством или пространством состояний кадра (или кадровых состояний). Считаем, что кадровые состояния могут изменяться только в дискретные моменты t=t_k (то есть в моменты смены кадров).

Если Q - оператор причинной стационарной динамической системы, представленный через пространство состояний в виде:

то его можно представить в форме рекурсивного повторения кадров обработки конечной длительности T_K в виде

где Q_L – оператор локальной (конечной) модели ;

z_k – состояние k-го кадра;

φ_K(•,•) –функция перехода кадрового состояния;

t – глобальное время; tT;

t_L – локальное время, t_L[0,T_K]; T

t_k – моменты глобального времени, разделяющие соседние кадры;

x_Lk(t_L), y_Lk(t_L) – сегменты входной и выходной функции для k-го кадра, связанные с исходными функциями от глобального времени посредством соотношений:

Рис. 6.7. Разбиение всей временной оси на кадры длительностью T_К

В случае необходимости можно легко получить представление локального оператора Q_L в пространстве локальных состояний z_L(t_L)Z_L исходя из имеющегося представления исходного глобального оператора Q в пространстве глобальных состояний z(t)Z. Для этого просто положим Q_L= Q, а в качестве начального состояния z_L(0) зададим кадровое состояние: z_L(0)= z(t_k)=z_k. Локальная переходная функция φ_L(•,•) получается из глобальной φ(•,•) путем подстановки t_L0 → t₀, t_L → t, x_Lk(•) → x(•):

В ряде случаев вид локального оператора Q_L может быть получен непосредственно из рассмотрения исходной задачи.

Рис. 6.8. Схема, поясняющая "сшивание" реакций локального оператора QL на разных интервалах длиной T_К с помощью кадрового состояния z_k