- •Задание 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
- •Задание 2. Найти интегральную кривую, проходящую через точку м.
- •Задание 4. Найти решение задачи Коши.
- •Задание 5.
- •§ 2. Уравнения второго порядка
- •Задание 6. Найти общее решение дифференциального уравнения.
- •Задание 7. Найти решение задачи Коши.
- •Задание 8. Найти частное решение дифференциального уравнения.
- •Задание 9. Найти общее решение дифференциального уравнения.
- •Задание 10. Найти общее решение дифференциального уравнения.
- •Задание 11. Написать вид общего решения дифференциального уравнения (коэффициенты частного решения не вычислять.)
- •Задание 12. Найти общее решение уравнения.
- •Литература
§ 2. Уравнения второго порядка
1. Основные определения. Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:
или .
Общее решение уравнения второго порядка представляет собой функцию , которая зависит от и двух произвольных постоянных и .
Задача Коши состоит в нахождении частного решения, удовлетворяющего двум начальным условиям: и . При достаточно общих условиях решение задачи Коши существует и является единственным.
Аналогично можно рассматривать дифференциальные уравнения и более высокого порядка.
Интегрирование дифференциальных уравнений второго и более высокого порядка удается только в некоторых частных случаях. Рассмотрим три вида уравнений, которые допускают понижение порядка.
2. Уравнение вида . Решение такого уравнения находится интегрированием раз.
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Данное уравнение является простейшим уравнением третьего порядка вида . Трижды интегрируя его, последовательно находим:
,
.
.
3. Уравнение второго порядка, не содержащее искомой функции . Порядок такого уравнения можно понизить, взяв за неизвестную – функцию . Полагаем , тогда ; для нахождения получаем уравнение первого порядка . Пусть его общее решение или . Проинтегрировав, получим общее решение данного уравнения
.
Пример2. Найти решение задачи Коши , если , .
Решение. Данное уравнение не содержит искомой функции. Для понижения его порядка введем новую неизвестную функцию , положив . Тогда , и уравнение принимает вид . Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, решением которого является функция:
.
Возвращаясь к первоначальной функции, получим уравнение первого порядка , из которого следует:
.
Подберем и так, чтобы выполнились начальные условия. Поскольку и при , то , т.е. ; , т.е. . Искомым частным решением является функция:
.
4. Уравнение второго порядка, не содержащее независимой переменной . Уравнение приводится к уравнению первого порядка, если положить , а за новый аргумент принять . В этом случае и порядок уравнения понизится: .
Если – его общее решение, т.е. , то, разделяя переменные и интегрируя, найдем искомое общее решение: .
Пример 3. Проинтегрировать уравнение .
Решение. Данное уравнение есть уравнение второго порядка, не содержащее явным образом независимой переменной. Понизим порядок этого уравнения, положив . Тогда , и получаем уравнение:
или .
Это дифференциальное уравнение распадается на два:
и .
Первое из них дает , т.е. . Во втором уравнении переменные разделяются:
,
откуда
,
или , т.е. . Вновь разделяя переменные, получим и . Следовательно, , и общее решение данного уравнения имеет вид
.
Отметим, что найденное выше решение содержится в общем решение, так как получается из него при .