Производная по направлению
Пусть снова функция задана в области и имеет во всех точках частные производные по всем переменным . Предположим, что все частные производные непрерывны в точке . Тогда функция дифференцируема в точке , то есть приращение функции имеет главную линейную часть, которая равна дифференциалу:
где -- величина большего порядка малости при , чем . Напомним, что
так что получаем
|
(8.1) |
Фиксируем теперь в какое-нибудь направление, выбрав задающий его ненулевой вектор Через точку в направлении вектора проходит некоторая ось . (Напомним, что осью называется прямая с выбранным на ней направлением, то есть выбранным порядком следования точек.) Точки этой оси можно задать параметрическими уравнениями:
или, в векторном виде, , где и увеличению значений параметра соответствует движение точки оси в направлении вектора .
Обозначим ту часть оси , которая состоит из точек оси, следующих после , то есть точек луча , получающегося при .
Определение 8.2 Значение предела
называется производной функции по направлению оси (или луча) (илипо направлению вектора ), вычисленной в точке . Производная по направлению обозначается или
Смысл определения производной по направлению -- в том, что она задаёт мгновенную скорость изменения значений функции при прямолинейном и равномерном движении точки вдоль оси в момент .
Заметим, что если направление оси совпадает с направлением одной из координатных осей , то производная функции по такому направлению, очевидно, равняется (правой) производной функции по соответствующей переменной . Если существует (двусторонняя) частная производная по , то получаем, что
если .
Используя параметризацию точки на луче вида и замечая, что условие означает, что , получаем:
Запишем теперь приращение функции, стоящее в числителе, через частные производные с помощью формулы (8.1):
|
|
Отсюда
|
|
|
|
Здесь в правой части первые слагаемых не зависят от . Поскольку при , то последний предел равен 0, так как -- величина большего порядка малости, чем . Итак, получили формулу
С помощью этой формулы можно вычислять производную по любому направлению, если известен направляющий вектор этого направления .
Заметим, что в правой части полученной формулы первый множитель каждого слагаемого -- это компонента вектора , а второй множитель -- компонента вектора . Этот вектор лишь длиной отличается от вектора ; направление его, очевидно, то же, что у . Длина вектора равна 1:
Поэтому компоненты вектора -- это направляющие косинусы -- косинусы углов между осью и осями координат :
где -- единичный направляющий вектор оси , , а точкой обозначено скалярное произведение векторов и . Таким образом, имеет место следующая теорема, выражающая связь между производной по направлению, градиентом и единичным направляющим вектором оси:
Теорема 8.1 Если все частные производные функции непрерывны в точке и направление оси задано вектором , то
где -- единичный направляющий вектор оси , или
где -- углы между осью и осями .