Определение градиента и стационарных точек функции
Пусть
в области
задана
функция
,
которая в некоторой точке
имеет
частные производные
по
всем переменным
,
.
Определение 8.1
Вектор, компонентами которого служат
значения частных производных, то есть
вектор
называется градиентом функции
,
вычисленным в точке
.
Градиент
обозначается
также
и
.
Если
частные производные существуют во всех
точках области
,
то градиент, вычисленный в произвольной
переменной точке
,
представляет собой вектор-функцию
со
значениями в
.
В
некоторых точках
градиент
может оказаться нулевым вектором. Тогда
значения всех частных производных в
точке
будут
равны 0:
При всех
Такие
точки
называются стационарными
точками функции
.
Пример 8.1
Рассмотрим функцию
,
заданную на всей плоскости
.
Поскольку
то
а
стационарные точки задаются системой
уравнений
Решая
эту систему из двух линейных уравнений,
находим единственное решение:
Значит,
--
единственная стационарная точка этой
функции.