§ 2.3. Законы распределения случайных величин

Количественное определение надежности связано с природой возникновения отказа, которая, как уже указывалось, является результатом случайного совпадения ряда неблагоприятных факторов. Это положение приводит к заключению, что отказ является случайным событием. Случайность отказа состоит в случайности его наступления, т.е. во времени его возникновения и месте расположения события.

При определении количественного значения надежности вместо случайных событий пользуются случайными величинами, которые в результате опыта могут принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

При изучении случайной величины рассматриваются два основных вопроса:

какое значение может принимать данная случайная величина;

насколько возможны те или иные значения этой случайной величины.

Если дается ответ на эти два вопроса, то это значит, что известно распределение этой случайной величины. Таким образом, наиболее полной характеристикой любой случайной величины является закон распределения.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Законы распределения времени между отказами позволяют достаточно просто определять все основные количественные характеристики надежности.

В действительных условиях содержания систем время между отказами простейших элементов и сложных систем подчиняется ряду определенных законов распределения: нормальному, экспоненциальному, биномиальному, Рэлея, -распределению, Вейбулла, логарифмическому, нормальному и др.

В теории надежности наиболее часто встречаются распределения, соответствующие экспоненциальному и нормальному законам.

Экспоненциальный закон достаточно хорошо описывает поведение как отдельных элементов, так и систем в целом при их нормальной эксплуатации, т.е. тогда, когда справедливо условие

соnst. (2.24)

При этом распределении параметр полностью определяет экспоненциальное распределение. Характеристики надежности в этом случае будут иметь вид:

вероятность безотказной работы

(2.25)

интенсивность отказов

(2.26)

частота отказов

(2.27)

Исходя из (2.24), получим

(2.28)

При соnst средняя частота отказов восстанавливаемых систем и среднее время между соседними отказами соответственно равны интенсивности отказов и среднему времени безотказной работы:

соnst; (2.29)

(2.30)

Среднее время безотказной работы

(2.31)

Тогда из (30) и (31) следует:

т.е. при экспоненциальном законе распределения среднее время безотказной работы - это время, в течение которого вероятность безотказной работы уменьшается в раз.

Графики функций и показаны на рис.2.2.

Рис.2.2. Зависимости для экспоненциального закона

Нормальный закон распределения (кроме этого названия, в литературе встречаются и такие названия: "кривая ошибок", "вероятностная кривая", "кривая Гаусса", "кривая Лапласа", "колоколообразная кривая") так же широко применим, как и экспоненциальный закон. Нормальное распределение возникает тогда, когда на исследуемую величину действует сумма многих случайных факторов, каждый из которых вносит незначительный вклад в суммарное значение отклонения величины от ее среднего значения. Размах распределения зависит от вызвавшей его системы факторов. Этому закону подчиняется большинство непрерывных случайных величин, зависящих от большого числа факторов: например, изнашивание многих деталей под действием сил трения, отклонения в размерах деталей, ошибки измерений, наработка на отказ, рассеивание снарядов, размеры пузырьков газа при флотации и т.п.

Нормальную кривую (рис.2.3) описывает следующее выражение:

(2.32)

где - исследуемая функция; - дисперсия; - среднее квадратическое отклонение; -математическое ожидание случайной величины (среднее значение нормального распределения).

Рис.2.3. Кривая плотности распределения для нормального закона

Как видно из формулы (2.32), нормальное распределение зависит от двух параметров - и . Вид основных характеристик надежности для нормального закона распределения времени между отказами приведен на рис.2.4.

Рис.2.4. Зависимость и для нормального закона

Рассмотренные законы распределения времени возникновения отказов в большинстве случаев характеризуют надежность сложной системы лишь на ограниченных участках времени ее работы. Так, например, время возникновения отказов на участке приработки (см. рис.2.1) может подчиняться - распределению, или закону Вейбулла, на участке нормальной работы - экспоненциальному закону, а на участке старения - нормальному закону.