6. Метод Гаусса розвязування систем лінійних рівнянь. Схема єдиного ділення. Прямий і зворотній хід. Методи перевірки схеми. Уточнення коренів.

Розглянемо систему з n рівнянь і n невідомих:

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+…+ a_1nx_n=a₁

a₂₁x₁+ a₂₂x₂+…+ a_2nx_n=a₂ (1)

…

a_n1x₁+ a_n2x₂+…+ a_nnx_n=a_n.

Вважаємо, що _. Після ділення будемо мати: (2)

, j>1. Множимо (2) відповідно на a₂₁, a₃₁, … , a_n1 і віднімаємо від другого, третього, …, останнього рівняння системи. В результаті ми отримаємо таку систему рівнянь:

, де , (i,j>=2). В отриманій системі поступаємо аналогічно: .Поділивши, отримаємо: (3), , j>2. Множимо (3) відповідно на a₃₂, … , a_n2 і віднімаємо від третього, четвертого, … , останнього.

, поступаємо аналогічно, до того часу поки не прийдемо до одного рівняння, звідки і знаходимо

Метод називається наближеним або ітераційним, якщо він дає змогу знайти наближений розв’язок системи(1) із наперед заданою точністю зі шляхом виконання скінченої кількості арифметичних операцій. Не зменшуючи загальності, розглянемо метод Гаусса на системі з 3-х рівнянь і 3-х невідомих.

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ a₁₃x₃=а₁₄

a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ a₂₃x₃=а₂₄ (2)

a₃₁x₁+ a₃₂x₂+a₃₃x₃=а_34.

Припустимо, що система є сумісню і визначена, тобто ∆≠0. Нехай коефіцієнт а₁₁≠0, тоді виключимо змінну х₁ із 2-го і 3-го рівняння системи (2). Для цього перше рівняння поділимо на коефіцієнт a₁₁, одержимо:

х₁+а₁₂⁽¹⁾х₂+ а₁₃⁽¹⁾х₃= а₁₄⁽¹⁾, де , j=2,3,4.

Верхній індекс означає порядок перетворення рівняння. Домножимо перше рівняння на а_і1 і віднімемо його від 2-го і 3-го рівняння відповідно. В результаті одержимо систему 2-х рівнянь:

а ₂₂⁽¹⁾х₂+ а₂₃⁽¹⁾х₃= а₂₄⁽¹⁾

а₃₂⁽¹⁾х₂+ а₃₃⁽¹⁾х₃= а₃₄⁽¹⁾, де а_ij⁽¹⁾=a_ij-a_1j⁽¹⁾a_i1, i,j=2,3,4. (3)

Виконаємо аналогічні перетворення із системою (3). Поділимо перше рівняння на а₂₂⁽¹⁾

х₂+ а₂₃⁽²⁾х₃= а₂₄⁽²⁾, де , j=3,4.

Виключимо х₂ з 2-го рівняння системи (3): помножимо одержане рівняння на а₃₂⁽¹⁾ і віднімемо від 2-го рівняння:

сх₃= а₃₄⁽²⁾, а_3j⁽²⁾=a_3j⁽²⁾-a_2j⁽¹⁾a₃₂⁽¹⁾, j=3,4.

Знайдемо х₃ з останнього рівняння:

х₃= а₃₄⁽³⁾,

В результаті одержимо систему східчастого вигляду:

х₁+а₁₂⁽¹⁾х₂+ а₁₃⁽¹⁾х₃= а₁₄⁽¹⁾,

х₂+ а₂₃⁽²⁾х₃= а₂₄⁽²⁾, (4)

х₃= а₃₄⁽³⁾.

Система (4) рівносильна системі (2), оскільки ми використали елементарні перетворення рівнянь. Прямий хід завершено, при чому елементарні перетворення можна виконати, якщо a₁₁≠0, а₂₂⁽¹⁾≠0, а₃₃⁽²⁾≠0.

8