§3. Три форми диференцiальних рiвнянь

3.1. Векторна форма

Запишемо другий закон Ньютона так:

, (3.1)

де m – маса точки, d² /dt² = – її прискорення, – рiвнодiюча сил, прикладених до точки.

Рiвнiсть (3.1) називається основним диференцiальним рiвнянням руху матерiальної точки у векторнiй формi.

3.2. Координатна форма

Проектуємо рiвняння (3.1) на вісi прямокутної декартової системи координат Oxyz:

(3.2)

де F_x,F_y,F_z - проекцiї сили на декартовi осi координат.

Рiвняння руху в цилiндричних координатах:

(3.3)

де F_r, F_φ, F_z - проекцiї рiвнодiйної прикладених до точки сил на вiсi r, φ, z ( рис. 3.1 ).

Рис. 3.1

3.3. Натуральна форма

Розкладаючи вектор прискорення на два компоненти по взаємно перпендикулярних напрямках дотичної i головної нормалi, одержимо:

(3.4)

В такому разi рiвняння руху точки в натуральнiй формi будуть мати вигляд:

(3.5)

де F_τ i F_n – проекцiї рiвнодiючої сил, що дiють на точку, на додатно зорiєнтованi дотичну i головну нормаль (рис. 3.2).

Сила i прискорення точки завжди лежать у стичнiй площинi, орiєнтацiя якої в просторi визначається одиничними векторами i . Проекцiя сили на бiнормаль дорiвнює нулю.

Рис. 3.2

§ 4. Двi основнi задачi динамiки точки. План їх розв’язання

У динамiцi матерiальної точки можна ставити i розв’язувати задачi двох основних типiв.

Перша основна задача.

Вiдомий закон руху матерiальної точки

, (4.1)

треба визначити рiвнодiючу сил, якi зумовили рух точки. Маса точки задається.

Спосiб розв’язування задачi: диференцiюємо двiчi рiвняння (4.1) i знаходимо прискорення (вiрнiше, його проекції на вісі). За диференцiальним рiвнянням руху знаходимо силу або її проекцiї.

Друга основна задача (обернена).

Заданими є сила F = F(t, r, v) i ”початковi умови”: в певний (початковий) момент часу t₀ заданi радiус-вектор i швидкiсть v₀ точки. Вiдома також маса точки. Необхідно знайти закон руху точки в просторi.

Щоб розв’язати цю задачу, треба скласти диференцiальнi рiвняння руху i проiнтегрувати їх.

Момент часу t₀ називається початковим; положення точки, яке визначається радiус-вектором , називається початковим положенням; швидкiсть точки в момент часу t₀ називається початковою швидкiстю v₀.

При розв’язуваннi задач динаміки матеріальної точки корисно додержуватись такого плану:

1) аналiз сил; для цього треба:

а) видiлити дослiджуване тiло;

б) вказати усi навколишнi тiла, якi дiють на дослiджуване тiло;

в) визначити всi сили, що дiють на об’єкт дослiдження в русi вiдповiдно до тiл, перерахованих у пунктi б);

г) вказати залежнiсть сил вiд фiзичних параметрiв: часу, положення (координат), швидкостi i т. iн.;

2) показати на рисунку матерiальну точку (тiло) і прикладенi до неї заданi сили в довільний момент часу;

3) звiльнити точку вiд в’язей i показати сили реакцiй в’язей;

4) вибрати систему вiдлiку;

5) скласти диференцiальнi рiвняння руху матерiальної точки;

6) розв’язати складенi рiвняння руху;

7) проаналiзувати розв’язок.