5. Диференцiальнi рiвняння руху невiльної матерiальної точки

5. 1. Невiльна матерiальна точка. Основне рiвняння динаміки

Невiльною називається така матерiальна точка, на рух якої накладенi обмеження. Цi обмеження не залежать вiд початкових умов руху та системи прикладених активних сил i називаються в’язями.

Невiльною точкою, наприклад, є матерiальна точка, що рухається по нерухомiй поверхнi або по нерухомiй кривiй. Рiвняння цiєї поверхнi або кривої називається рiвнянням в’язi.

Будемо вважати в’язь iдеально гладенькою (iдеальною) або в’яззю без тертя. Тодi сила реакцiї цiєї в’язi направлена по нормалi до поверхнi або кривої i називається нормальною силою реакцiї в’язi . Якщо поверхня або крива є шорсткими, то сила реакцiї буде направлена пiд деяким кутом до напрямку нормалi до поверхнi або кривої. В цьому випадку реакцiя називається повною силою реакцiї .При цьому

, (5.1)

де - динамiчна сила тертя, направлена у бік, протилежний до вектору швидкостi матерiальної точки. Згiдно закону Кулона

= μN , (5.2)

де - одиничний вектор дотичної до траєкторiї точки, μ - коефiцiєнт тертя при русi, N - модуль нормальної сили реакцiї.

Дослiдження руху невiльної матерiальної точки будується на аксiомi в’язей, яку використовували в статицi. При цьому невiльна матерiальна точка розглядається як вiльна, що рухається пiд дiєю активних сил i сил реакцiй в’язей.

Нехай матерiальна точка маси m рухається на заданiй шорсткiй в’язi пiд дiєю рiвнодiючої прикладених сил . В’язь замiнимо силою реакцiї в’язi , тодi дану матерiальну точку можна розглядати як вiльну, що рухається пiд дiєю сил i . Основне рiвняння динамiки запишеться так:

m = + , m = + + . (5.3)

Цi рiвняння виражають основний закон динамiки невiльної матерiальної точки у векторнiй формi.

Для iдеально гладенької поверхнi F_тер = 0 i рiвняння (5.3) набуває вигляду:

m = + . (5.4)

Рiвняння (5.3) i (5.4) дозволяють розв’язувати таку основну задачу динамiки невiльної матерiальної точки: знаючи масу матерiальної точки, дiючi на неї активнi сили i рiвняння в’язi, по якiй рухається точка, визначити: а) закон руху точки по заданiй в’язi i б) динамiчну реакцiю накладеної в’язi, тобто реакцiю, що виникає при русi матерiальної точки.

5. 2. Дослiдження руху невiльної матерiальної точки в декартових координатах

Якщо накладенi на матерiальну точку в’язi обмежують тiльки вiльнiсть її перемiщення в просторi, не накладаючи обмежень на модуль її швидкостi, то така в’язь називається голономною або геометричною. Рiвняння голономної в’язi записується так:

f(x, y, z) = 0. (5.5)

Координати матерiальної точки задовольняють рiвнянням (5.5) пiд час руху, доки точка залишається на поверхнi. Крiм того, голономна в’язь типу, описаного рівнянням (5.5), накладає обмеження на напрямок швидкостi рухомої точки. Це обмеження заключається в тому, що вектор швидкостi точки завжди лежить у площинi, дотичній до поверхнi.

Якщо накладена на матерiальну точку голономна в’язь така, що точка залишається на поверхнi, то ця в’язь називається утримуючою. Математично рiвняння такої в’язi записується у формi рiвностi (5.5).

Якщо рiвняння накладеної на матерiальну точку голономної в’язi не мiстить явно часу, тобто записується у формi рiвностi (5.5), то це значить, що поверхня, по якiй рухається матерiальна точка, нерухома i не деформується. Така голономна в’язь називається стацiонарною або склерономною.

Р озглянемо рух точки М маси m по поверхнi (рис. 5.1). Будемо вважати, що в’язь, накладена на матерiальну точку, є стацiонарною утримуючою i голономною. Крiм того, ця в’язь є iдеальною (без тертя). Для цiєї матерiальної точки диференцiальне рiвняння руху в векторнiй формi можна записати так:

m = + . (5.6)

Рiвняння в’язi записується у формi (5.5). З курсу диференцiальної геометри вiдомо, що напрямок зовнiшньої нормалi до поверхнi f(x, y, z) = 0 спiвпадає з напрямком вектора

f = ( f/ x)+ ( f/ y)+ ( f/ z),

я

Рис. 5. 1.

кий називається градiєнтом скалярної функцiї f(x, y, z). Через те, що реакцiя розглядуваної поверхнi нормальна до поверхнi f(x, y, z) = 0, то вона колiнеарна з градiєнтом функцiї f(x, y, z), тобто

= λ f, (5.7)

де λ - множник пропорцiональностi, який в загальному випадку залежить вiд х, у, z. У зв’язку з цим рiвняння (5.6) можна переписати так:

m = +λ f. (5.8)

Спроектуємо обидвi частини цього векторного рiвняння на нерухомi осi декартових координат i одержимо диференцiальнi рiвняння руху матерiальної точки на iдеально гладенькiй поверхнi в такому виглядi:

m = F_x+λ( f/ x);

m = F_у+λ( f/ у); (5.9)

m = F_z+ λ( f/ z).

Рiвняння (5.9) називаються диференцiальними рiвняннями криволiнiйного руху невiльної матерiальної точки в проекцiях на осi декартової системи координат або рiвняннями Лагранжа першого роду. Цi рiвняння i рiвняння в’язi (5.5) являють собою систему чотирьох рiвнянь, з яких можна визначити чотири невiдомих функцiї х, у, z, λ. В результатi знайдемо закон руху матерiальної точки, а за формулою

визначаємо модуль нормальної сили реакцiї .

Якщо на матерiальну точку накладена стацiонарна утримуюча голономна i реальна в’язь, рiвняння якої записано у виглядi (5.5), то рiвняння (5.7) записуються так:

m = F_x+ λ( f/ x)+F_{x тер};

m = F_у+λ( f/ у)+F_{y тер}; (5.10)

m = F_z+ λ( f/ z)+F_{z тер}.

Проекцiї сили тертя _тер можна представити в такому виглядi

F_{x тер} = F_терcos( ) = = F_терcos( ) = │v│;

F_{y тер} =  μN /│v│;

F_{z тер} =  μN /│v│. (5.11)

I тодi рiвняння (5.10) запишуться у виглядi

m = F_x+ λ( f/ x) – μN( /│v│);

m = F_у+λ( f/ у) – μN( /│v│); (5.12)

m = F_z+ λ( f/ z) – μN( /│v│).

Рiвняння F_тер = μN, (5.5) і (5.12) дають систему рiвнянь, з яких визначають невiдомi х, у, z, N i F_тер.