- •Глава 13. Математическая статистика
- •П. 1. Генеральная совокупность и выборка
- •П. 2. Вариационный и статистический ряды. Группированный статистический ряд
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 3. Эмпирическая функция распределения
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 3. Гистограмма и полигон частот
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 4. Числовые характеристики выборочного распределения
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 5. Точечные оценки и их свойства
- •Свойства статистики.
- •1) Оценки для оценки математического ожидания.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 6. Методы статистического оценивания
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 7. Доверительный интервал и доверительная вероятность
- •Решение.
- •Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону
- •П. 8. Корреляция
- •Решение.
- •П. 9. Сглаживание экспериментальных зависимостей. Метод наименьших квадратов
- •П. 10. Понятие о статистических гипотезах. Критерии согласия
Решение.
Всего 10 результатов измерений, т .е. n = 10. Найдем вес каждого измерения.
№1: , № 2: , № 3: ,
№ 4: . Тогда .
Найдем оценку математического ожидания по формуле (9):
.
П. 6. Методы статистического оценивания
1 метод для нахождения оценок параметров по данным опыта – метод подстановки или аналогии – простейший метод статистического оценивания. Он состоит в том, что в качестве оценки той или иной числовой характеристики (среднего, дисперсии и др.) генеральной совокупности берут соответствующую характеристику распределения выборки, т.е. выборочную характеристику. (См. выше).
Пример. Пусть х1, х2,…, хn – выборка из генеральной совокупности с конечным математическим ожиданием m и дисперсией D. Используя метод подстановки, найти оценку m. Проверить несмещенность и состоятельность полученной оценки.
Решение.
В качестве оценки математического ожидания m надо взять математическое ожидание распределения выборки, т.е. выборочное среднее : .
Проверим несмещенность и состоятельность полученной оценки. Для этого рассмотрим эту статистику как функцию выборочного вектора: . По определению (23) проверим несмещенность оценки:
. Действительно, –несмещенная оценка математического ожидания m генеральной совокупности..
По определению (24) проверим состоятельность оценки:
,
, следовательно, – состоятельная оценка математического ожидания m генеральной совокупности.
2 метод для нахождения оценок параметров по данным опыта – метод наибольшего (или максимального) правдоподобия.
1) Пусть Х – непрерывная случайная величина с плотностью распределения , зависящей от неизвестного параметра а, значение которого требуется оценить по выборке объема n. Плотность распределения выборочного вектора можно записать в виде
.
Пусть х1, х2,…, хn – выборка наблюдений случайной величины Х, по которой находится оценка неизвестного параметра.
Определение 26. Функцией правдоподобия выборки объема n называется плотность выборочного вектора, рассматриваемая при фиксированных значениях переменных х1, х2,…, хn:
Функция – функция только одного неизвестного параметра а.
2) Пусть Х – дискретная случайная величина, для которой вероятность – функция неизвестного параметра а. Пусть для оценки неизвестного параметра а получена
конкретная выборка наблюдений случайной величины Х объема n: х1, х2,…, хn.
Определение 27. Функцией правдоподобия выборки объема n называется вероятность того, что компоненты дискретного выборочного вектора , примут фиксированные значения переменных х1, х2,…, хn:
Сущность метода наибольшего правдоподобия заключается в том, что в качестве оценки неизвестного параметра а принимается значение аргумента , которое обращает функцию в максимум. Такую оценку называют МП – оценкой или оценкой наибольшего правдоподобия.
(Для дискретного распределения Х МП-оценка неизвестного параметра а такое значение , при котором вероятность появления данной конкретной выборки максимальна; для непрерывного распределения – плотность максимальна).
Согласно известным правилам дифференциального исчисления, для нахождения максимума функции или, что то же самое, для нахождения оценки наибольшего правдоподобия необходимо решить уравнение:
(10)
и отобрать то значение а, которое обращает функцию L в максимум.
Для упрощения вычислений в некоторых случаях функцию правдоподобия заменяют ее логарифмом, т.е. используют логарифмическую функцию правдоподобия, и решают вместо уравнения (10) уравнение
.
В случае двух параметров а1 и а2 оценки их определяются из двух совместно решаемых уравнений
При выполнении некоторых условий МП-оценки асимптотически эффективны и асимптотически нормально распределены. Метод всегда приводит к состоятельным оценкам (хотя иногда и смещенным), имеющим наименьшую возможную дисперсию по сравнению с другими и наилучшим образом (в некотором смысле) использующим всю информацию о неизвестном параметре, содержащуюся в выборке.
На практике метод часто приводит к необходимости решать сложные системы уравнений.
Пример. Оценить качество продукции некоторого производства.