- •Глава 13. Математическая статистика
- •П. 1. Генеральная совокупность и выборка
- •П. 2. Вариационный и статистический ряды. Группированный статистический ряд
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 3. Эмпирическая функция распределения
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 3. Гистограмма и полигон частот
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 4. Числовые характеристики выборочного распределения
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 5. Точечные оценки и их свойства
- •Свойства статистики.
- •1) Оценки для оценки математического ожидания.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 6. Методы статистического оценивания
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 7. Доверительный интервал и доверительная вероятность
- •Решение.
- •Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону
- •П. 8. Корреляция
- •Решение.
- •П. 9. Сглаживание экспериментальных зависимостей. Метод наименьших квадратов
- •П. 10. Понятие о статистических гипотезах. Критерии согласия
Решение.
Здесь n = 7, х1 = х4 = х6; х2 = х7.
Выборка небольшая. Запишем ее в виде вариационного ряда: –3; –3; –3; –1; 2; 2; 5. Разобьем на интервалы точками –3; –1; 2; 5. Построим статистическую совокупность (с помощью накопленных частот), предварительно записав частоты:
частоты , накопленные частоты: = значит,
Пример 8. По выборке объема 9 найдена эмпирическая функция распределения ДСВ.
Сколько раз в этой выборке наблюдалось возможное значение 8?
Решение.
Объем выборки – n = 9. . Составим статистический ряд, добавив столбец с относительными частотами.
i |
|
|
|
1 |
5 |
|
3 |
2 |
8 |
|
3 |
3 |
11 |
|
3 |
1) 2)
3)
Ответ. Возможное значение 8 наблюдалось 3 раза.
П. 3. Гистограмма и полигон частот
Кроме графика эмпирической функции распределения для наглядного представления выборки бывает полезно построить гистограмму и полигон частот.
Графическим изображением статистического ряда и статистической совокупности (группированного статистического ряда) является гистограмма.
Определение 10. Гистограммой относительных частот статистической совокупности называется кусочно-постоянная функция, постоянная на интервалах совокупности и принимающая на них все значения , где частота, объем выборки, длина интервала, i =1, 2, …, k, k – количество интервалов.
На каждом интервале, как на основании, строится прямоугольник с высотой , площадь которого равна относительной частоте данной группы . Полная площадь ступенчатой фигуры под графиком гистограммы равна 1: .
Замечание. При увеличении объема выборки и уменьшении интервала группировки гистограмма относительных частот является статистическим аналогом плотности распределения fX(x) генеральной совокупности.
Определение 11. Гистограммой частот группированной выборки называется кусочно-постоянная функция, постоянная на интервалах группировки и принимающая на них все значения , где объем выборки, длина интервала, i =1, 2, …, k, k – количество интервалов.
На каждом интервале, как на основании, строится прямоугольник с высотой , площадь которого равна частоте данной группы . Полная площадь ступенчатой фигуры под графиком гистограммы равна объему выборки, т.е. .
Пример 9. Построить гистограмму относительных частот выборки из примера 4.
Решение.
Ко 2-му и 4-му столбцам полученной в примере 4 таблицы для удобства добавим столбец со значениями , столбцы 1 и 2 удалим. Количество интервалов k = 7. Длина интервала . Объем выборки n = 20. В итоге получим:
Границы группы |
Относительная частота |
|
(–15 ) – (–10) |
0,1 |
0,02 |
(–10) – (–5) |
0,15 |
0,03 |
(–5) – 0 |
0,15 |
0,03 |
0 – 5 |
0,05 |
0,01 |
5 – 10 |
0,05 |
0,01 |
10 – 15 |
0,2 |
0,04 |
15 – 20 |
0,3 |
0,06 |
Пример 10. Построить гистограмму частот группированной выборки из примера 5.