11. Ошибки выборочных критериев

12. Моделирова ние нелинейного уравнения гиперболической зависимости.

При проведении исследований может быть установлена нелинейная зависимость между аргументом и функцией, представляющая собой на графике кривую в виде гиперболы. Общее уравнение регрессии для гиперболической зависимости имеет вид

y = a/x + b (6.5)

где х – аргумент; у – функция; а и b – коэффициенты, величину которых следует установить.

Расчет сводится к следующему. Чтобы установить вид зависимости между функцией и аргументом, по исходным данным строится график. Затем при вычислении параметров а и b по способу координат точек подбираются две точки, расположенные на кривой или около нее по методу, описанному для линейной регрессии (см. п. 6.1). Для этих же параметров по способу наименьших квадратов используется система уравнений

(6.6)

Эта система получена в результате умножения на х и х² исходных уравнений по х и у:

13. Степень свободы и ее использование.

В двух сравниваемых независимых выборках с одинаковым или разным объемом наблюдений степень свободы определяется по формуле: ν = (N₁ –

 –1)  + (N₂ – 1) = N₁ + N₂ – 2.

При малых объемах независимых совокупностей, если дисперсии сравниваемых выборок нельзя считать одинаковыми, число степеней свободы определяется сложнее:

ν = ,

где u = / ( + ); и – ошибки среднего арифметического первой и второй выборок соответственно.

Сопряженные статистические совокупности получают на одном или на разных объектах, но в разных условиях. Например, сравнение температуры воздуха в июле и январе г. Могилева; сравнение прибыли фермерских и подсобных хозяйств в любом районе или фермерских хозяйств Витебской и Гомельской области. Объем сравниваемых выборок должен быть одинаков (N₁ = N₂). Определение степени свободы для сопряженных выборок определяется как: ν = N_пар – 1.

14. Факторный а нализ и его использование.

Факторный анализ основывается на использовании статистических знаний. Факторный анализ представляет собой ветвь математической статистики, цель которого – разработка моделей, понятий и методов, позволяющих анализировать и интерпретировать массивы экспериментальных данных независимо от их физической природы. Анализ данных включает краткое описание распределения объектов, установление взаимоотношения процессов и явлений, отражающихся в виде параметров.

Используемый набор моделей и методов предназначен для «сжатия» информации, содержащейся в корреляционной матрице. В основе различных моделей факторного анализа лежит следующая гипотеза: параметры – это косвенные характеристики объекта или явления и представляют в совокупности тот или иной фактор. В связи с этим задача факторного анализа состоит в том, чтобы показать наблюдаемые параметры в виде линейных комбинаций факторов. Изменение фактора не всегда одинаково отражается на параметрах, поэтому среди последних могут быть выделены группы, реагирующие на каждый из факторов порознь. Параметры, входящие в одну и ту же группу, сильно коррелируют между собой; параметры, входящие в разные группы, слабо коррелируют между собой. Задача выявления факторов понимается как разбиение параметров на группы таким образом, чтобы можно было описать взаимоотношения между параметрами.

Разработано несколько вариантов факторного анализа с использованием коэффициентов только линейной корреляции (нелинейная корреляция вызывает затруднения при обработке материала). Наиболее употребительны при этом метод главных компонент, метод главных факторов и центроидный метод. Определение главных компонент и главных факторов производится с помощью ЭВМ.

Наиболее типичной формой представления данных является матрица. Это прямоугольная (или квадратная) таблица чисел, вертикальный ряд которой (столбец) обозначается индексом j, горизонтальный (строка) – индексом i. Любой элемент матрицы обозначается символом a с индексами, первый указывает номер строки, второй – номер столбца, которым соответствует данный элемент (в общем виде a_ij). Матрица обозначается прописной буквой (A, B и т. д.). О матрице, имеющей т строк и п столбцов, говорят, что ее порядок составляет т∙п. Квадратная матрица n∙п имеет порядок п.

В факторном анализе с использованием правил матричной алгебры часто встречается операция умножения матриц. Для того чтобы умножить матрицу А на матрицу В, необходимо следующее условие: матрица A должна иметь столько столбцов, сколько строк в матрице В.

В факторном анализе используются следующие виды матриц: диагональная (в ней отличны от нуля только элементы, лежащие на главной диагонали), скалярная (все элементы диагональной матрицы равны между собой), единичная (все элементы главной диагонали равны единице), обратная (аналогична обратному числу в арифметике).

Элементами исходной матрицы в факторном анализе являются коэффициенты корреляции. В ходе анализа вычисляется также общая дисперсия σ², указывающая, в каких границах находятся значения параметров, которые характеризуют фактор. Кроме общей дисперсии в анализе учитывается факторная дисперсия (общность) и специфическая дисперсия, связанная с некоторой переменной и характеризующая только ее. Дисперсию, обусловленную ошибкой, стремятся свести к минимуму.

В итоге составляется факторная матрица. Элементы столбцов матрицы представляют собой факторные нагрузки, или коэффициенты факторного отображения, выраженные коэффициентами корреляции данной переменной с данным фактором. Таким образом, коэффициенты факторного отображения характеризуют фактор и его влияние на все параметры.

Результат факторного анализа можно также выразить в виде графика, который наглядно иллюстрирует полученные выводы.