- •Гаврилов в.Л. Функции нескольких переменных
- •Евклидово -мерное пространство
- •Окрестности. Области
- •Функции нескольких переменных
- •Предел функции нескольких переменных
- •Непрерывность функции нескольких переменных
- •Решение задач
- •Вопросы для самопроверки по теме 8.1
- •Тесты для самопроверки по теме 8.1
- •Ответы на тесты по теме 8.1
- •8.2. Дифференцирование функций нескольких переменных
- •Частные производные
- •Дифференцируемость функции нескольких переменных
- •Полный дифференциал
- •Дифференцирование сложной функции одной переменной. Полная производная
- •Дифференцирование сложной функции нескольких переменных. Инвариантность формы полного дифференциала
- •Тогда функция
- •Дифференцирование неявных функций
- •В нашем случае
- •Частные производные высших порядков
- •Полные дифференциалы высших порядков
- •Рассмотрим функцию
- •Аналогично предыдущему можно показать, что
- •Решение задач
В нашем случае
следовательно,
Неявным образом могут быть заданы функции двух и более переменных.
Если неявная функция двух переменных определяется уравнением
то частные производные и этой функции можно найти по следующим формулам
(8.20)
Пример. Найти полный дифференциал функции , заданной неявно уравнением
Решение. Полный дифференциал функции вычисляется по формуле
Найдем и по формулам (8.20). Для этого перенесем все члены уравнения в левую часть и обозначим Так как
то
Теперь
Частные производные высших порядков
Частные производные и функции называемые частными производными первого порядка, в свою очередь, будут некоторыми функциями переменных и . Если последние сами обладают частными производными, то эти частные производные называются частными производными второго порядка для функции . При этом используют обозначения:
Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка. Вообще, если некоторая функция допускает -кратное частное дифференцирование по своим аргументам в каком-либо определенном порядке, то получается частная производная -го порядка. Например, обозначает результат -кратного последовательного дифференцирования функции по аргументу , то есть частную производную -го порядка от по .
Частная производная, полученная дифференцированием по нескольким различным аргументам, называется смешанной частной производной.
Всего указанным образом можно получить частных производных порядка от функции . В действительности, число различных производных какого-либо определенного порядка оказывается значительно меньше. Справедлива следующая важная теорема о смешанных частных производных.
Теорема. Если функция обладает в некоторой точке непрерывными частными производными и , то эти производные равны одна другой в рассматриваемой точке:
Аналогичная теорема о независимости смешанной частной производной от порядка дифференцирования справедлива для частных производных любого порядка. Поэтому обозначение частной производной для таких функций указывает только число дифференцирований по каждой переменной, а порядок, в котором производятся эти дифференцирования, на результат не влияет. Так, через обозначается частная производная порядка для функции , причем по выполняется дифференцирование раз, а по раз (здесь, конечно, ).
Сказанное справедливо и для функции произвольного числа аргументов. Например, для функции трех аргументов через обозначается частная производная пятого порядка, получаемая двукратным дифференцированием по , двукратным - по и однократным – по .
Пример 1. Найти вторые частные производные функции Убедиться, что
Решение. Находим сначала частные производные
Дифференцируя каждую из полученных производных по и по , получим вторые частные производные
Очевидно, что смешанные производные равны.
Пример 2. Найти если
Решение. Находим сначала частную производную по
Далее ищем вторую частную производную по
Теперь