2.3. Непрерывная ставка Основные положения

• При анализе сложных финансовых проблем в банковской практике нередко возникает задача начисления сложных процентов за очень малые промежутки времени. В частности, такая задача особенно актуальна, когда финансовые операции осуществляются и регистрируются с помощью электронных методов. В такого рода ситуациях говорят о непрерывном начислении процентов и их непрерывной капитализации.

• Предел годовой номинальной процентной ставки, когда число начислений сложных процентов стремится к бесконечности, а эффективная ставка постоянна, называется силой роста или интенсивностью наращения за год при непрерывном начислении процентов. Силу роста также еще называют непрерывной ставкой и, чтобы отличать ее от обычной (дискретной), вводят специальное обозначение - .

• При непрерывном начислении процентов исчезает различие между антисипативным и декурсивным способами начисления, так как в такой ситуации начало и конец периода перестают отличаться.

• При использовании непрерывной ставки будущие поступления, являющиеся разновременными суммами, можно оценивать с позиции любого момента времени.

Вопросы для обсуждения

1. Как пояснить переход к непрерывным процентам?

2. Чем отличаются дискретные проценты от непрерывных?

3. Какая постоянная используется при непрерывном начислении процентов?

4. Какая ставка называется силой роста?

5. Чему равен множитель наращения при непрерывном начислении процентов?

6. Можно ли сказать, что сила роста показывает скорость относительного роста накапливаемой суммы?

7. Какое существует соотношение между силой роста и годовой процентной ставкой?

8. Какое существует соотношение между силой роста и годовой учетной ставкой?

9. Укажите приближенные соотношения, связывающие силу роста и годовую процентную ставку.

10. Укажите приближенные соотношения, связывающие силу оста и годовую учетную ставку.

11. В каких случаях сила роста практически совпадает с процентной и учетной годовыми ставками?

12. Почему исчезает различие между антисипативным и декурсивным способами начисления процентов, если использовать непрерывное начисление?

13.Что такое сила учета и как она связана с силой роста?

14. В каких случаях целесообразно использовать непрерывное начисление процентов?

Типовые примеры и методы их решения

Пример 2.3.1. Рассчитайте накопленную сумму для различных вариантов начисления сложных процентов за один год (равный 360 дням), если исходная сумма Р = 1000 руб. и номинальная годовая процентная ставка r(m) = 30%. Рассмотрите случаи, когда проценты начисляются один раз, по полугодиям, ежеквартально, ежемесячно, ежечасно, ежеминутно, ежесекундно и непрерывно. Для каждого случая определите эффективную годовую процентную ставку.

Решение. Результаты, полученные для всех вариантов, приведем в виде таблицы, причем в четвертом столбце вычислены разности между наращениями с данным числом начисления процентов и базовым, а в пятом столбце указаны разности между наращенными суммами двух соседних строчек.

Р	Частота начисления	F1	Наращение		V
			базовое	цепное
1000	Ежегодное (т = 1)	1300	-	-	0,3
1000	Полугодовое (т = 2)	1322,5	22,5	22,5	0,3225
1000	Ежеквартальное (m = 4)	1335,47	35,47	12,97	0,33547
1000	Ежемесячное (т - 12)	1344,89	44,89	9,42	0,34489
1000	Ежедневное (т = 360)	1349,69	49,69	4,8	0,34969

P	Частота начисления	F1	Наращение		ref
			базовое	цепное
1000	Ежегодное (m=8640)	1349,85	49,85	0,16	0,34985
1000	Ежеминутное (m=518400)	1349,86	49,86	0,01	0,34986
1000	Ежесекундное (m=31104000)	1349,86	49,86	0	0,34986
1000	Непрерывное (m= )	1349,86	49,86	0	0,34986

Накопленную сумму и эффективную процентную ставку во всех случаях, кроме последнего, находим соответственно по формулам (58) и (63). При непрерывном начислении процентов получим:

руб.,

Как и следовало ожидать, приведенные расчеты подтверждают наличие прямой зависимости между частотой начисления процентов и накопленной суммой; пятый столбец таблицы показывает, что с увеличением частоты начисления темп прироста накопленной суммы уменьшается. Если считать с точностью до копеек (что и имеет смысл при практических расчетах и как сделано при заполнении таблицы), то замечаем, что начисление сложных процентов каждую минуту (или за меньший период) доставляет ту же сумму, что и непрерывное начисление процентов. Даже начисление каждый час дает наращенную сумму лишь на 1 копейку меньше.

Эффективная процентная ставка с ростом частоты начисления сложных процентов растет и в пределе достигает величины 34,986%.

Пример 2.3.2. На сумму 6 тыс. руб. в течение 5 лет начисляются непрерывные проценты. Определите наращенную сумму, если сила роста равна: а) 7%; б) 27%.

Решение, а) Полагая Р = 6 тыс. руб., п = 5, = 0,07, по формуле (78) получим:

тыс. руб.

Если в данном случае применить формулу (55), т.е. осуществлять начисление обычных сложных процентов по процентной ставке r = 0,07, то получим сумму:

тыс. руб.,

которая отличается от предыдущей всего на 99 руб., хотя наращение происходит достаточно долго - 5 лет. Такой результат объясняется небольшой величиной ставки. Ясно, что при более частом начислении сложных процентов эта разница будет еще меньше.

б) Так как в этом случае 5 = 0,27, то

тыс. руб.,

Если же воспользоваться формулой (55) при r = 0,27, то получим:

тыс. руб.,

т.е. имеем значительную разницу (3,322 тыс. руб.) между найденными суммами.

Пример 2.3.3. Какую сумму необходимо поместить на бан­ковский депозит, чтобы при непрерывном начислении процентов по ставке 25% получить 30 тыс. руб. через: а) 4 года; б) 9 лет?

Решение, а) Для определения искомой суммы воспользуемся формулой (78). Полагая n = 4 , F_n = F₄= 30 тыс. руб., = 0,25 , и ч этой формулы получим:

тыс. руб.

б) Поскольку n= 9, то

тыс.руб.

Пример 2.3.4. За какой срок сумма 10 тыс. руб. достигнет личины 25 тыс. руб. при непрерывном начислении процентов и силе роста 28% за год?

Решение. Полагая в формуле (79) Р_п = 25 тыс. руб., Р = 10 тыс. руб., = 0,28, находим:

года.

Если бы начислялись сложные проценты, например, по го­довой номинальной процентной ставке r⁽²⁾ = 0,28, то по формуле (60):

года,

т.е., естественно, получили больший срок, чем при непрерывном начислении процентов.

Пример 2.3.5. Банк выдает ссуду на 7 лет под сложную процентную ставку 36% годовых с начислением процентов каждые полгода. Какую непрерывную ставку должен установить банк, чтобы за 7 лет получить тот же доход?

Решение. Пусть Р – величина ссуды, тогда при использовании процентной ставки банк получит через 7 лет (согласно формуле (58)):

Теперь для определения силы роста можно воспользоваться формулой (80):

Конечно, этот пример можно было решить, и воспользовавшись сразу формулой (97), связывающей эквивалентные силу роста и сложную процентную ставку.

Пример 2.3.6. Банк предоставил кредит на 4 года под непрерывную ставку 30% за год. Определите доходность такой финансовой операции для банка в виде: а) простой годовой процентной ставки; б) годовой эффективной процентной ставки.

Решение, а) Если Р - величина кредита, то через п - 4 года наращенная сумма, которую заемщик должен будет возвратить, составит:

Поэтому доходность в виде простой годовой процентной ставки составит (по формуле (23)):

Обратим внимание, что в данном случае по существу была применена формула (93).

б) При определении r_ef воспользуемся формулой (64):

Заметим, что годовая эффективная процентная ставка r_ef и сила роста связаны соотношением: , которым мы фактически и воспользовались при решении примера.

Пример 2.3.7. Предприниматель получил в банке ссуду на 6 лет по непрерывной ставке 25% за год, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 2% от величины ссуды. Определите доходность такой финансовой операции для банка в виде: а) простой годовой процентной ставки; б) годовой эффективной процентной ставки, если непрерывные проценты начисляются на исходную величину ссуды.

Решение. а) Обозначим через Р величину ссуды, тогда величина удержанных комиссионных составит 0,02P и господину N будет выдана сумма Р - 0,02Р = 0,98Р . Через 6 лет господин N должен будет вернуть (согласно формуле (78)) сумму, равную . Банк вычисляет доходность сделки исходя из условия: наращенная по простой процентной ставке r на реально выданную ссуду сумма 0,98P(1 + 6r) должна быть равна возвращаемой господином N через 6 лет сумме Ре^1,5. Таким образом, доходность сделки r определяется из уравнения: . Откуда:

По существу воспользовались формулой (23).

б) В этом случае наращенная по эффективной процентной ставке r_ef на реально выданную ссуду сумма составит и, следовательно, получим уравнение:

Пример 2.3.8. На вклад 16 тыс. руб. начисляются непрерывные проценты. Определите наращенную сумму за 6 лет, если интенсивность наращения изменяется следующим образом: в первые два года она равна 20%, в следующие три года – 24% и в последний год – 26%. Какую постоянную силу роста необходимо взять, чтобы за 6 лет получить такую же наращенную сумму?

Решение. Пусть Р = 16 тыс. руб. По формуле (78) за первые два года при силе роста = 0,2 наращенная сумма составит:

тыс. руб.,

Далее наращение суммы F₂ непрерывными процентами за три года при = 0,24 обеспечит величину:

тыс. руб.

И наконец, за последний год получим при = 0,26:

тыс. руб.

Такую же наращенную сумму за 6 лет можно получить, если в качестве постоянной силы роста взять

Заметим, что представляет собой взвешенную сумму исходных непрерывных ставок, где весом для каждой ставки является доля времени (от общего срока 6 лет), в течение которого использовалась данная ставка. Действительно:

Пример 2.3.9. Господин N намеревается обменять имеющиеся у него немецкие марки и поместить полученную сумму на рублевом депозите сроком на 2 года под ставку 21% годовых с непрерывным начислением процентов, после чего наращенную сумму опять конвертировать в немецкие марки. При каком ожидаемом курсе продажи не имеет смысла такая финансовая операция, если курс покупки немецких марок на начало срока составляет 10 руб. 64 коп, и на валютном депозите денежную сумму можно поместить под процентную ставку 18% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов?

Решение. Обозначим через Р имеющуюся первоначальную сумму немецких марок, через К - ожидаемый курс продажи немецких марок через 2 года, при котором нет смысла в двойном конвертировании. Неизвестную величину К находим, приравнивая наращенные суммы на валютном и на рублевом депозитах с учетом конвертации:

отсюда руб. Если ожидаемый курс продажи будет менее 11 руб. 39 коп., то финансовая операция, связанная с двойной конвертацией, целесообразна.

Пример 2.3.10. Сумма 15 тыс. руб. была помещена в банк на некоторый срок, по истечении которого на эту сумму были начислены непрерывные проценты с силой роста 30% за год. После уплаты налога на проценты величина наращенной суммы составила 36,2 тыс. руб. Определите срок, за который было осуществлено наращение, если ставка налога на проценты равна 12% и налог на все полученные проценты был выплачен один раз в конце срока.

Решение. Воспользуемся соотношением (101), разрешая его относительно п:

Так как в этом случае Р = 15 тыс. руб., =36,2 тыс. руб., q=0,12, a=e^0,3 и lna=0,3, то

года.

С целью проверки применим непосредственно формулу (101):

тыс. руб.

Пример 2.3.11. Сумма 15 тыс. руб. была помещена в банк на некоторый срок, в течение которого на сумму начислялись непрерывные проценты с силой роста 30% за год. После уплаты налога на все начисленные проценты величина итоговой наращенной суммы составила 36,2 тыс. руб. Определите срок, в течение которого осуществлялось наращение, если ставка налога на проценты равна 12% и налог на проценты уплачивается каждый год путем выделения средств из накапливаемой суммы.

Решение. Выражая из равенства (102) п, в обозначениях предыдущего примера находим:

года,

т.е. получен больший по величине срок, чем в предыдущем случае.

Задачи

2.3.1. На сумму 12 тыс. руб. в течение 6 лет начисляются непрерывные проценты. Определите наращенную сумму, если сила роста равна: а) 6%; б) 16%; в) 26%.

2.3.2. Рассчитайте наращенную сумму для различных вариантов начисления процентов за один год (равный 360 дням) по сложной учетной ставке, если исходная сумма равна 1000 руб. и номинальная годовая учетная ставка составляет 20%. Рассмотрите случаи, когда проценты начисляются один раз в год, по полугодиям, ежеквартально, ежемесячно, ежечасно, ежеминутно, ежесекундно и непрерывно. Для каждого случая определите эффективную годовую учетную ставку.

2.3.3. Клиент поместил в банк 40 тыс. руб. на 2 года. Какая сумма будет на счете клиента, если банк начисляет сложные проценты: а) по номинальной процентной ставке 30% годовых с полугодовым начислением процентов; б) по номинальной учетной ставке 30% годовых с ежеквартальным начислением процентов; в) по непрерывной ставке с силой роста 30% за год?

2.3.4. Какую сумму необходимо поместить на банковский депозит, чтобы через 5 лет получить 80 тыс. руб., если происходит непрерывное начисление процентов по ставке 22%?

2.3.5. Известно, что современная стоимость 10 тыс. руб., которые один клиент должен получить по банковскому депозиту через 2 года, равна удвоенной современной стоимости 6 тыс. руб., которые должен получить другой клиент по банковскому депозиту через 4 года. В обоих случаях используются непрерывные проценты и одна и та же непрерывная ставка. Чему равна эта ставка?

2.3.6. За какой срок сумма 50 тыс. руб. достигнет величины 90 тыс. руб. при непрерывном начислении процентов и силе роста 34%? Как изменится ответ при начислении сложных процентов ежеквартально по номинальной процентной ставке 34% годовых?

2.3.7. Заемщик должен уплатить кредитору по векселю сле­дующие суммы: 15 тыс. руб. на 1 января 1999 г.; 20 тыс. руб. на 1 января 1998 г.; 30 тыс. руб. на I октября 1998 г. Определите приведенную стоимость долга на моменты: а) 1 января 1995 г.; б) 1 июля 1997 г., если используется непрерывное начисление процентов с силой роста 12% за год.

2.3.8. Банк выдает ссуду на 9 лет под сложную процентную ставку 32% годовых с начислением процентов каждый квартал. Какую непрерывную ставку должен установить банк, чтобы за 9 лет получить тот же доход? Изменится ли полученный результат, если срок ссуды будет 3 года?

2.3.9. Банк предоставил кредит на 6 лет под непрерывную ставку 27% за год. Определите доходность такой финансовой операции для банка в виде: а) простой годовой процентной ставки; б) годовой эффективной процентной ставки.

2.3.10. Предоставлена ссуда на 5 лет под непрерывную ставку. Определите величину этой ставки, если доходность сделки для кредитора в виде годовой эффективной процентной ставки составила 38%. Зависит ли величина искомой непрерывной ставки от срока ссуды?

2.3.11. Предприниматель может получить ссуду либо на условиях ежеквартального начисления сложных процентов по процентной ставке 36% годовых, либо на условиях непрерывного начисления процентов с интенсивностью 34% за год. Какой вариант предпочтительнее для предпринимателя?

2.3.12. Вкладчик хотел бы за 6 лет увеличить в 2,5 раза сумму, помещаемую в банк на депозит. Какова должна быть сила роста, если банк начисляет непрерывные проценты? Какова должна быть сила роста, чтобы обеспечить увеличение помещаемой суммы в 4 раза?

2.3.13. Оцените, что лучше: получить 20 тыс. руб. через 3 года или 68 тыс. руб. через 7,5 года, если можно поместить деньги на депозит под непрерывную ставку 28% за год?

2.3.14. Под какую непрерывную ставку можно поместить деньги на депозит, если 10 тыс. руб. сейчас эквивалентны 30 тыс. руб. через 4 года? Какая сложная процентная ставка с начислением процентов по полугодиям решает эту задачу?

2.3.15. Определите время, за которое происходит удвоение первоначальной суммы при начислении непрерывных процентов, если сила роста равна: а) 5%; б) 25%; в) 50%; г) 100%.

2.3.16. Определите современную ценность 60 тыс. руб., если: а) эта сумма будет получена через 2 года 6 месяцев; б) эта сумма была получена 4 года 6 месяцев назад; в) эта сумма получена в настоящий момент времени. Учесть возможность помещения денег на депозит под непрерывную процентную ставку 30%.

2.3.17. Банк начисляет непрерывные проценты с силой роста 27%. Определите современную ценность 20 тыс. руб., если: а) эта сумма была помещена на депозит в банке 3 года 4 месяца назад; б) эта сумма будет помещена на депозит в банке через 2 года 9 месяцев.

2.3.18. Некоторый капитал помещен в банк под непрерыв­ную ставку 30%. Через 2 года и 3 месяца счет был закрыт и получена сумма 189,755 тыс. руб. Определите величину наращен­ной суммы, которая была бы получена через полтора года.

2.3.19. Господин N поместил в банк 10 тыс. руб. на условиях начисления непрерывных процентов с силой роста 28%. Через 15 месяцев господин N снял со счета 4 тыс. руб., еще через 2 года положил на свой счет 3 тыс. руб., а после этого через 2 года 6 месяцев он закрыл счет. Определите сумму, полученную господином N при закрытии счета.

2.3.20. Вкладчик положил в банк 8 тыс. руб. на условиях начисления непрерывных процентов с силой роста 26%. Через полтора года вкладчик снял со счета 5 тыс. руб., а через 2 года после этого он положил 7 тыс. руб. Еще через 2 года 6 месяцев вкладчик положил такую сумму, что на его счете еще через год оказалось 60 тыс. руб. Определите, какую сумму вкладчик положил последний раз.

2.3.21. Вкладчик открыл счет в банке, положив некоторую сумму денег. Такую же по величине сумму он добавлял на свой счет еще три раза; через 1 год 6 месяцев, 2 года 6 месяцев и 4 года после открытия счета. Через 5 лет на счете вкладчика было 80 тыс. руб. Какую сумму вносил вкладчик каждый раз, если банк начисляет непрерывные проценты с силой роста 30%?

2.3.22. Предприниматель взял в банке кредит на сумму 150 тыс. руб. на условиях начисления непрерывных процентов с силой роста 30%. Через полтора года он вернул банку 60 тыс. руб., но еще через полгода взял кредит в сумме 50 тыс. руб. Через 2 года после этого предприниматель вернул полностью получен­ные кредиты. Какую сумму предприниматель при этом выплатил банку?

2.3.23. Определите, какую сумму необходимо поместить в банк, начисляющий непрерывные проценты с силой роста 24%, чтобы иметь возможность снять через 2 года 15 тыс. руб. и еще 20 тыс. руб. через 3 года после этого, полностью исчерпав счет.

2.3.24. Предприниматель приобрел оборудование стоимостью 300 тыс. руб. в кредит под непрерывную ставку 22% годовых. Через 2 года он уплатил 180 тыс. руб., а еще через полтора года полностью погасил долг. Определите, какую сумму предприниматель при этом выплатил.

2.3.25. За взятые в долг деньги под непрерывную ставку 25% годовых должник обязан уплатить кредитору 40 тыс. руб. 1 июля 1997 г. Какую сумму необходимо уплатить должнику, если он вернет долг: а) 1 января 1997 г.; б) 1 января 1998 г.; в) 1 июля 1999 г.?

2.3.26. Предприниматель получил в банке ссуду на 7 лет по непрерывной ставке 28% за год, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 1,5% от величины ссуды. Определите доходность такой финансовой операции для банка в виде: а) простой годовой процентной ставки; б) годовой эффективной процентной ставки, если непрерывные проценты начисляются на исходную величину ссуды.

2.3.27. Выдается ссуда по непрерывной ставке 22% годовых, при этом взимаются комиссионные в размере 1% от величины ссуды. Непрерывные проценты начисляются на исходную величину ссуды. На какой срок должна быть выдана ссуда, чтобы доходность такой сделки для кредитора в виде годовой эффективной процентной ставки составляла 28%?

2.3.28. При выдаче кредита на 3 года по непрерывной ставке 24% годовых были удержаны комиссионные. Непрерывные проценты начислялись на исходную величину кредита. Сколько процентов составили комиссионные от величины кредита, если доходность такой финансовой операции для кредитора в виде эффективной процентной ставки получилась равной 30% годовых?

2.3.29. На вклад 6 тыс. руб. начисляются непрерывные про­центы. Найдите наращенную сумму за 8 лет, если интенсив­ность наращения изменяется следующим образом: в первые три года она равна 12%, в следующие два года - 14% и в каждый оставшийся год увеличивается на 3%. Какую постоянную силу роста необходимо взять, чтобы за 8 лет получить такую же наращенную сумму?

2.3.30. Сумма 25 тыс. руб. помещена в банк под непрерывную ставку с силой роста 20% за год. В конце каждого года 3% от наращенной к этому моменту суммы расходуется. Определите величину наращенной суммы в конце десятого года после осуществления всех расходов.

2.3.31. На сумму 10 тыс. руб. в течение 3 лет начисляются непрерывные проценты с силой роста 34% за год, причем в конце каждого года расходуется часть наращенной к этому моменту суммы: в конце первого года – 1/2, в конце второго года – 1/4, в конце третьего – 1/5. Определите величину наращенной суммы в конце третьего года после осуществления всех расходов.

2.3.32. Господин N обменивает 2000 долл. на рубли и полученную сумму помещает на 15 месяцев на рублевый депозит под непрерывную ставку 24%. Определите наращенную сумму в долларах, если курс покупки долларов на начало срока составляет 19 руб. 60 коп., курс продажи в конце срока – 21 руб. 30 коп.

2.3.33. Господин N намеревается обменять имеющиеся у него доллары США и поместить полученную сумму на рублевом депозите сроком на 1 год 6 месяцев под ставку 22% годовых с непрерывным начислением процентов, после чего наращенную сумму опять конвертировать в доллары США. При каком ожидаемом курсе продажи не имеет смысла такая финансовая операция, если курс покупки долларов на начало срока составляет 19 руб. 54 коп. и на валютном депозите денежную сумму можно поместить под процентную ставку 16% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов?

2.3.34. Как лучше поступить с имеющейся в наличии некоторой суммой немецких марок: поместить на один год на валютный депозит под процентную ставку 18% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов или поместить на рублевый депозит под ставку 20% с непрерывным начислением процентов? Курс покупки немецких марок на начало срока составляет 10 руб. 40 коп., ожидаемый курс продажи через год – 11 руб. 20 коп.

2.3.35. Сумма 50 тыс. руб. была помещена в банк на некоторый срок, по истечении которого на сумму были начислены сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 30% исходя из: а) ежегодной схемы начисления; б) ежеквартальной схемы начисления; в) непрерывной схемы начисления. После уплаты налога на проценты величина наращенной суммы составила 124,88 тыс. руб. Определите срок, за который было осуществлено наращение, если ставка налога на проценты равна 15% и налог на все полученные проценты был выплачен один раз в конце срока.

2.3.36. Некоторый капитал был помещен в банк на 3 года 6 месяцев, по истечении которых на этот капитал были начислены непрерывные проценты с силой роста 24% за год и счет был закрыт, После уплаты налога на проценты наращенный капитал стал равен 129,504 тыс. руб. Определите величину первоначального капитала, если налог на все полученные проценты выплачивается один раз в конце срока и ставка налога на проценты равна 12%.

2.3.37. Некоторый капитал был помещен в банк на 2 года 6 месяцев на условиях начисления раз в год непрерывных процентов с силой роста 30% за год, и в конце срока счет был закрыт. После уплаты налога на все начисленные проценты итоговый наращенный капитал стал равен 76,688 тыс. руб. Определите величину первоначального капитала, если налог на проценты уплачивается каждый год путем выделения средств из накапливаемой суммы и ставка налога на проценты равна 15%.

2.3.38. На какой срок необходимо поместить имеющуюся денежную сумму под непрерывную процентную ставку 32% с однократным начислением в конце срока непрерывных процентов, чтобы эта сумма увеличилась в 3 раза с учетом уплаты на­лога на проценты, если ставка налога на проценты равна 15% и налог на все полученные проценты выплачивается один раз в конце срока?

2.3.39. На какой срок необходимо поместить имеющуюся денежную сумму на условиях начисления раз в год непрерывных процентов с силой роста 34% за год, чтобы эта сумма увеличилась в 4 раза с учетом уплаты налога на проценты, если налог на проценты уплачивается каждый год путем выделения средств из накапливаемой суммы и ставка налога на проценты равна 12%?