- •Утверждаю
- •Одномерный статистический анализ Лекция № 1
- •Введение.
- •Генеральная совокупность значений
- •1.1.1. Погрешности (ошибки) результатов (наблюдений) при проведении исследований.
- •1.1.2. Типы выборок при использовании статистических методов управления качеством продукции.
- •Лекция № 2
- •1.1.3. Однородность и репрезентативность выборки.
- •1.1.4. Среднее и дисперсия выборки.
- •Лекция № 3
- •1.1.5. Средняя квадратическая ошибка выборки
- •1.1.6. Определение необходимой численности выборки.
- •1.1.7. Малые выборки.
- •1.2. Графическое изображение и основные характеристики вариационного ряда. Лекция № 4
- •1.2.1. Графическое изображение рядов распределения.
- •- Тарифный разряд рабочего; - число рабочих (частота).
- •Теоретической кривой нормального распределения.
- •- Тарифный разряд рабочего; - число рабочих (накопленная частота).
- •1.2.2. Основные показатели (характеристики) ряда распределения.
- •Лекция № 5
- •Относительное линейное отклонение
- •Коэффициент вариации
- •Лекция № 6
- •И отрицательным (справа) эксцессом.
- •В зависимости от расстояния от среднего значения.
- •Лекция № 7
- •Лекция № 8
- •1.3. Виды статистических оценок параметров распределения. Лекция № 9
- •1.4. Дополнительные показатели распределения:
- •Контрольные вопросы по разделу 1.
И отрицательным (справа) эксцессом.
На рисунке 1.5 представлены два распределения: одно – островершинное (величина эксцесса положительная), второе – плосковершинное (величина эксцесса отрицательная).
Эксцесс представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения.
В нормальном распределении отношение . Средняя квадратическая ошибка эксцесса рассчитывается по формуле:
, (1.24)
где - число наблюдений (опытов).
1.2.2.4. Нормальный закон распределения.
Если непрерывная случайная величина имеет:
- функцию распределения
. (1.25)
- плотность распределения, являющаяся производной от функции распределения
, (1.26)
то она подчиняется нормальному закону распределения. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение (стандарт) при нормальном законе распределения имеют свое обозначение соответственно и . Для построения кривой нормального распределения достаточно знать два параметра и .
По формуле Ньютона – Лейбница можно определить вероятность попадания частного значения исследуемого признака в заданный интервал нормального распределения
, (1.27)
где и - значения функции Лапласа на границах интервала.
При группировании всех частных значений совокупности (выборки) в интервалы о вероятности попадания определенного количества частных значений в тот или иной интервал говорят как о теоретической частоте такого попадания.
Значение функции распределения для границ интервала можно определить по готовым таблицам, уже составленным для нормального распределения. Однако табулирование функции наталкивается на одну трудность - для каждых конкретных значений и нужно составлять свою таблицу. Этой трудности удается избежать, приводя все нормальные распределения к такому распределению, у которого и . Нормальное распределение с такими параметрами называется стандартным. Эти значения легко найти в статистических справочниках, где они табулированы в соответствующих таблицах.
Укажем особенности кривой нормального распределения.
Кривая симметрична относительно максимальной ординаты. Максимальная ордината соответствует значению признака , ее величина равна .
Кривая асимптотически приближается к оси абсцисс, продолжаясь в обе стороны до бесконечности. Следовательно, чем больше частные значения отклоняются от , тем реже они встречаются. Одинаковые по абсолютному значению, но противоположные по знаку отклонения значений переменной от равновероятны.
Кривая имеет две точки перегиба, находящиеся на расстоянии от .
При с увеличением кривая становится более пологой. При с изменением кривая не меняет свою форму, а лишь сдвигается вправо или влево по оси абсцисс.
Вероятность попадания частного значения исследуемого признака в заданный интервал можно приближенно оценивать по следующим правилам (п.1.1.6):
- в промежутке находится 68,3 % всех значений признака (правило «сигмы»);
- в промежутке находится 95,4 % всех значений признака (правило «двух сигм»);
- в промежутке находится 99,7 % всех значений признака (правило «трех сигм»). Как отмечалось ранее, в соответствии с правилом «трех сигм» попадание частного значения в данный интервал практически гарантирован (рис. 1.6).
Рис. 1.6. Соотношение площади под кривой нормального распределения