5.1.1. Средняя арифметическая и ее свойства

Средняя арифметическая используется в тех случаях, когда раз­рыв между минимальным и максимальным значениями признака достаточно невелик (они не отличаются друг от друга в несколь­ко десятков или сотен раз).

Средняя арифметическая вычисляется либо как простая, ли­бо как взвешенная величина. Продемонстрируем это на примере. Предположим, что у нас имеются данные о величине рентабель­ности по 10 малым предприятиям (%):

10, 12, 12, 15, 15, 15, 17, 17,20,20.

Тогда средняя рентабельность составит

10 + 12 + 12 + 15+15+15+17+17+20 +20 = 153

153÷10=15,3

Очевидно, что все значения признака мы сложили и подели­ли на их количество. Ход наших вычислений запишем в виде формулы средней арифметической простой:

где х_i- варианты (отдельные значения признака);

п - число единиц в совокупности.

Теперь обобщим (систематизируем) наши данные, для чего сгруппируем их в таблицу 5.2.

Таблица 5.2 - Распределение предприятий по уровню рентабельности.

Рентабельность, %	Количество предприятий
10	1
12	2
15	3
17	2
20	2
Итого	10

Запишем выражение для вычисления среднего уровня рента­бельности в более компактной форме, для этого применим формулу средней арифметической взвешенной.:

где f_i — частота, т.е. число раз, которое встречается каждое значение приз­нака.

Взвешенными средними называют величины, которые учитывают, что некоторые варианты значений признака могут иметь различную численность, в связи с чем каждый вариант приходится умножать на эту численность. Иными словами, «весами» выступают числа единиц совокупности в разных группах, т.е. каждый вариант «взвешивают» по своей частоте. Частоту f называют статистическим весом или весом средней.

Часто данные наблюдения представляют в интервальной фор­ме, например как в таблице 5.3. Тогда при расчете средней в качестве x_i берут сере­дины интервалов. Если первый и последний интервалы открытые (не имеют одну из границ), то их условно «закрывают», принимая за величину интервала величину примыкающих интервалов, т.е. первый закрывают исходя из величины второго, последний — предпоследнего.

Так в примере 5.1 середина первого интервала равна 500 (ве­личина второго интервала: 1000 (2000-1000); тогда нижняя гра­ница первого: 0 (1000-1000), а середина - 500. Аналогично по­ступаем с последним интервалом. За его середину принимаем 25000 (величина предпоследнего интервала 10000 (20000-10000), тогда верхняя граница последнего 30000 (20000+10000), а середи­на последнего соответственно — 25000).

Если веса представлены не частотами, а частостями w_i,, формула для расчета средней арифметической взвешенной модифициру­ется в следующую:

где частость w_i, которая представляет собой удельный вес частоты соответствующей варианты в общей сумме частот.

Сумма частостей для расчетов по данной формуле должна быть равна 1, т.е. в долях от единицы, а не в процентах.

Пример 5.1

По результатам выборочного обследования одной из групп населения рассчитаем среднедушевой размер денежного дохода (данные условные).

Таблица 5.3 – Среднедушевой размер денежного дохода (условные данные).

Среднедушевой денежный доход, руб./мес.	Доля населения, %	Середины интервалов хi	Частость wi
До 1000	4,1	500	0,04Д
1000-2000	8,6	1500	0,086
2000-4000	12,9	3000	0,129
4000-6000	13,0	5000	0,130
6000-8000	10,5	7000	0,105
8000- 10000	27,8	9000	0,278
10000-20000	12,7	15000	0,127
20000 и выше	10,4	25000	0,104
Итого	100,0	-	1,000

Тогда среднедушевой размер месячного дохода составит

х_cp =500 • 0,041+1500 • 0,086+3000 • 0,129+5000 • 0,13+7000 • 0,105+ +9000 • 0,278+15000 • 0,127+25000 • 0,104 = 8928,5 руб.

Средняя арифметическая величина обладает рядом математи­ческих свойств:

1. Если x_i = с, где с - постоянная величина, то средняя ариф­метическая будет равна с.

2. Сумма отклонений значений признака от его средней арифметической равна 0, т. е. Z(x_i – х_cp) = 0.

3. Если из всех значений признака вычесть постоянную величину с, то средняя арифметическая уменьшится на эту величину с:

4. О т уменьшения или увеличения частот f_i каждого значения признака в m раз величина средней арифметической не изменится.

На изложенных свойствах средней арифметической базирует­ся один из методов ее расчета - способ моментов, или метод отс­чета от условного нуля, который используется в случае вариаци­онных рядов с равными интервалами. Согласно этому методу среднюю арифметическую взвешенную можно вычислить по следующей формуле:

момент первого порядка.

За d, как правило, принимают величину интервалов, а за с - значение середины интервала, находящегося в центре ряда (если количество интервалов нечетное) или середину интервала с наи­большей частотой также из центра ряда (при четном количестве интервалов в центре ряда будут находиться два интервала).