§ 5. Приложение определенных интегралов к решению физических задач.

Определенные интеграл широко применяются для вычисления физических величин – работы, давления и т. д. При решении подобных задач следует опираться на соответствующие законы физики. Напомним некоторые из них.

1. Величина давления жидкости на горизонтальную площадку с заданной глубиной погружения равна, по закону Паскаля, весу столба жидкости на эту площадку (элементарное давление), а именно

где – удельная плотность жидкости, – площадь площадки, – ускорение свободного падения.

Задача 1. Найти давление воды на боковую стенку аквариума шириной . Высота аквариума , поверхность воды в нем отстоит от верхней кромки на величину .

Пусть – давление воды на верхнюю прямоугольную часть боковой стенки аквариума, имеющую высоту . Тогда – давление на горизонтальную полоску этой стенки, расположенную на расстоянии от верхней кромки аквариума и имеющую малую толщину (элементарное давление). По закону Паскаля оно равно весу столба жидкости на эту полоску, причем без ограничения общности можно считать, что эта полоска

параллельна поверхности воды в аквариуме. При достаточно малой ширине можно считать, что

где – объем столба воды, а – ее плотность. Поэтому, элементар- ное давление равно

Следовательно,

.

Постоянная определяется из условия . Итак,

Давление воды на стенку аквариума равно значению этой функции при т. е.

К этому же результату можно придти другим способом, учитывая, что давление равно определенному интегралу от элементарного давления

Для решения следующей физической задачи понадобится такой закон.

2. Работа, совершаемая постоянной силой по перемещению тела в заданном направлении равна

где – проекция вектора силы на это направление, – величина (длина) перемещения. В частности, работа, необходимая для удаления из некоторого углубления (ямы, сосуда, резервуара и т.п.) горизонтального пласта грунта или жидкости малой толщины, равна весу этого пласта, умноженному на глубину его расположения (элементарная работа)

.

Задача 2. Найти работу, необходимую для того, чтобы выкопать яму прямоугольных размеров. Грунт земли считать однородным, – плотность грунта; размеры ямы .

1. Пусть – работа по удалению горизонтального пласта грунта, расположенного на глубине и имеющего малую толщину (элементарная работа). Тогда при достаточно малом имеем:

где – абсолютная величина направленной вверх силы, равная весу пласта, – расстояние, на которое пласт надо поднять. Поэтому,

где – объем пласта, – ускорение силы тяжести.

Следовательно,

Теперь находим искомую работу

Условно говоря, работа равна определенному интегралу от элементарной работы.

Остановимся на другом способе решения этой задачи.

2. Рассмотрим функцию , отражающую зависимость работы от глубины , на которую будет выкопана яма. Тогда в обозначениях пункта 1

приращение функции . Поэтому из (21) находим

Условно говоря, элементарная работа – дифференциал функции .

Следовательно,

Постоянную находим из условия , т. е. . Итак,

искомая работа равна

.

Задача 3. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на 4 см, если известно, что от нагрузки в 1Н она растягивается на 1 см?

Согласно закону Гука, сила H, растягивающая пружину на м, равна . Коэффициент пропорциональности найдем из условия:

Если , то и .

Обозначим через работу, затраченную на удлинение пружины на малую величину после того как она была растянута на м (элементарная работа). Тогда при достаточно малом имеем по закону Гука:

Поэтому искомая работа равна:

Задача 4. С помощью подъемного крана извлекают железобетонную надолбу со дна реки глубиной 5м. Какая работа при этом совершается, если надолба имеет форму правильного тетраэдра с ребром 1м? Плотность железобетона 2500 кг/м³, плотность воды 1000 кг/м³. *⁾

*⁾ Эта задача повышенной трудности. Поэтому ее рекомендуется пропустить при первом чтении.

Для решения этой задачи понадобится закон Архимеда.

3.На тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу жидкости в объеме погруженной части тела.

Используя известные геометрические формулы, находим: высота тетраэдра м, объем тетраэдра м³. Вес надолбы в воде с учетом закона Архимеда равен

Поэтому работа при извлечении надолбы до момента появления на поверхности воды ее вершины составляет

Теперь найдем работу при извлечении надолбы из воды. Пусть вершина тетраэдра имеет высоту над поверхностью воды.

Тогда объем малого тетраэдра, расположенного в надводной части, равен м³ *⁾, а вес всего тетраэдра с учетом закона Архимеда составляет

Следовательно,

Итак, вся работа по извлечению тетраэдра из воды составляет

Задача 5. Найти работу, совершаемую при выкачивании воды из корыта, имеющего форму полуцилиндра, длина которого равна , радиус основания равен .

Объем элементарного слоя воды, находящегося на глубине и имеющего длину , ширину и толщину , равен

Элементарная работа, совершаемая при подъеме этого слоя воды на высоту равна , где плотность воды. Следовательно,

*⁾ При получаем .

Задача 6. Какую работу нужно затратить, чтобы тело массы поднять с поверхности земли на высоту ? Чему равна эта работа, если тело должно быть удалено на бесконечность?

Для решения задачи понадобится закон всемирного тяготения Ньютона

4. Всякие два тела притягиваются друг к другу с силой прямо пропор-циональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между центрами тяжести этих тел, т. е.

где – постоянная тяготения.

Пусть тело находится на высоте над Землей. Масса Земли и ее радиус при предложении о том, что Земля имеет форму шара – известные величины. По сравнению с Землей можно считать, что тело имеет точечную массу. Для того, чтобы тело дополнительно прошло путь ( – малая величина), требуется затратить, согласно закону Ньютона, работу

(элементарная работа). Поэтому работа , необходимая для удаления тела на высоту от Земли, определяется формулой

Если тело должно быть удалено на бесконечность, то для этого необходимо затратить работу