§8. Законы постоянного тока

I. Электрический ток - направленное движение электрических зарядов. Если перемещаются элементарные заряды, например, электроны в металлах, ионы в газах и жидкостях, ток называется током проводимости. Если заряды много больше элементарных и связаны с макротелами, ток называется конвективным. Например, конвективный перенос объемного заряда в воздухе. Третьим случаем является электрический ток в вакууме. В настоящем параграфе речь пойдет только о токе проводимости.

Основной характеристикой тока является его величина i, определяющаяся отношением заряда, проходящего через поперечное сечение проводника, к времени: . (8.1)

Е сли i = const, ток называют постоянным и обозначают I. Чтобы на отрезке проводника АВ существовал постоянный электрический ток, на концах проводника должна поддерживаться постоянная разность потенциалов . (8.2)

Направление тока соответствует направлению понижения потенциала, то есть направлению движения положительных зарядов (рис.49).

2. Закон Ома для участка цепи. В 1826 г. немец Георг Ом установил, что ток в проводнике прямо пропорционален напряжению U на его концах: . (8.3)

Здесь G  коэффициент пропорциональности, различный для разных проводников и называемый проводимостью.

Обратная проводимости величина R называется электрическим сопротивлением проводника постоянному току, R = 1G. Формула закона Ома принимает вид: (8.4)

Электрический ток, идущий в проводнике, пропорционален приложенному к концам проводника напряжению и обратно пропорционален сопротивлению проводника.

Единица тока в - ампер (А) - одна из 7 основных единиц в СИ. Единицу сопротивления ом (Ом) можно определить из закона Ома. Очевидно, [R] = [U][I] то есть Ом = ВА. Ом  это сопротивление такого проводника, в котором при напряжении на его концах 1 В идет ток 1 А.

Единица проводимости в СИ - сименс (Сим), Сим = Ом^1.

3. Электрическое сопротивление проводников имеющих длину l и постоянное сечение S, определяется формулой, найденной Гэмфри Дэви в 1821 г , (8.5)

где ρ - коэффициент пропорциональности, называемый удельным сопротивлением проводника. Численно величина ρ равна сопротивлению R проводника единичной длины и единичного сечения. Единица ρ в СИ – Омм.

Опыт показывает, что удельное сопротивление металлов растет с температурой по закону, приближающемуся на отдельных участках к линейному (8.6)

Здесь температурный коэффициент сопротивления, у чистых металлов приблизительно равен 1273 К^1, у сплавов может изменяться в широких пределах, вплоть до отрицательных значений. В таблице (8.1) приведены значения  некоторых металлов и сплавов при t = 20С.

Если механически деформировать проводник, то изменение его геометрических размеров также влияет на величину его сопротивления. По этому принципу устроены электрические тензометры, позволяющие измерять быстропеременные механические напряжения.

4. Закон Ома в дифференциальной форме. Пусть к концам проводника длиной l и сечением S приложено напряжение U. Преобразуем формулу закона Ома.

Таблица 8.1
Вещество	, мкОмм	, град^^1
Чистые металлы
Алюминий Al Вольфрам W Железо Fe Медь Cu Никель Олово Sn Платина Pt Ртуть Hg Серебро Au Цинк Zn	0,028 0,055 0,098 0,017 0,973 0,120 0,105 0,958 0,016 0,059	0,0042 0,0048 0,0060 0,0043 0,0065 0,0044 0,0039 0,0010 0,0040 0,0042
Сплавы и др.
Графит C	820	-0,0005
Константан (Cu+ +Ni40%+Mn2%)	0,50	-0,00005
Манганин (Cu+ +Ni3%+Mn2%)	0,46	0,00001
Нихром (Ni60%+ Cr20%+Mn1,5%+Fe)	1,0	0,0001

. (8.7)

Отношение IS = j  ток через единичное сечение проводника и называется плотностью тока. Отношение 1 = g называется удельной электропроводностью. Единица g - Сим/м. Поскольку направление движения положительных зарядов совпадает с вектором напряженности Е, то выражение для плотности тока можно записать в векторной форме: (8.8)

Это закон Ома в дифференциальной форме. Величины, входящие в него, определены в любой точке проводника.

5. Замкнутая электрическая цепь. Это система из источника тока, и электрически соединенных проводников различного сопротивления.

Источником тока называют элемент цепи, в котором происходит разделение электрических зарядов.

Р азность потенциалов между точками А и В цепи создает электрическое поле в проводниках правой и левой частей цепи на рис.50. Если в цепи нет источника тока ИТ, то потенциалы точек А и В сравняются. Ток прекратится. Функция источника тока состоит в том, что он, перемещая заряды в левой части против поля АВ, поддерживает постоянной разность потенциалов между этими точками.

Силы, разделяющие заряды в ИТ, не являются кулоновскими, хотя, в конечном счете, имеют электромагнитную природу. В феноменологической теории эти силы принято называть сторонними. Процесс разделения зарядов сторонними силами совершается за счет какой-либо энергии. Например в генераторе электрической станции разделение происходит за счет механической энергии вращения ротора, а в гальваническом элементе разделение зарядов происходит за счет энергии химической реакции.

6 . Электродвижущая сила (ЭДС). Вычислим работу сторонних сил по перемещению заряда в цепи. Для этого введем в закон Ома в дифференциальной Форме вектор напряженности сторонних сил E_ст : или (8.9)

Здесь jS = I - ток в цепи, одинаковый во всех её участках. Умножим выражение (8.9) скалярно на элемент длины проводника вдоль по току и проинтегрируем от точки 2 до точки 2 по внешней части цепи, содержащий гальванический источник тока (рис.51).

или (8.10)

Полученная формула не несёт пока ничего нового. Она просто выражает закон Ома для участка цепи1-а-2, поскольку никаких сторонних сил на участке 1-а-2 в цепи с гальваническим источником тока нет и интеграл равен нулю. (Это не так в цепях, в которых действует ЭДС индукции). Но ситуация меняется, если точки 1 и 2 стянуть в одну так, чтобы одна из них пересекла источник тока. Тогда напряжение обратиться в нуль, U₁₂ = 0 Сопротивление R₁₂ перейдет в полное сопротивление цепи. Обычно его представляют как сумму сопротивлений источника тока r и внешней части цепи R. Выражение (8.10) принимает вид: (8.11)

Интеграл по замкнутому контуру (его называют циркуляцией) вектора напряженности E_ст здесь уже не равен нулю. Он определяет работу перемещения сторонними силами единичного положительного заряда по всей цепи. Эту работу называют электродвижущей силой источника тока и обозначают E. ЭДС - важнейшая характеристика ИТ. Как и напряжение она измеряется в вольтах.

7. Закон Ома для полной цепи представлен формулой (8.11). Обозначив интеграл буквой E придадим ему привычный вид: (8.12)

Ток в полной цепи пропорционален ЭДС источника тока E и обратно пропорционален полному сопротивлению цепи R + r.

Из формулы (8,12) следует, что ЭДС источника тока E равна сумме падений напряжений во внешней и во внутренней частях цепи . (8.13)

Напряжение во внешней части цепи IR = U легко измеряется вольтметром, присоединённым к зажимам источника тока, но измерить напрямую падение напряжения внутри источника тока Ir нельзя, его можно лишь уменьшить, уменьшая ток в цепи. В пределе при R0 UE Можно сказать, что ЭДС источника тока E равна напряжению на его зажимах, при разомкнутой цепи. Это условие реализуется при измерении ЭДС методом компенсации.

8 Тепловая мощность тока. Закон Джоуля-Ленца. При перемещении единичного заряда электрическими силами по цепи совершается работа, равная ЭДС источника. Если перемещаемый заряд равен q то работа его перемещения A = E q = E It = I²(R + r)t (8.14)

Эта работа состоит из двух частей: работы во внешней части цепи I²Rt и работы во внутренней части I²rt . Работа во внешней части называется полезной.

Полезная мощность Р, выделяющаяся во внешней части цепи, с учётом закона Ома для участка цепи может быть предусмотрена формулами: P = I²R = IU = U²R (8.15)

Очевидно, формулы (8.15) позволяют вычислить электрическую мощность, выделяющуюся не только во всей внешней цепи, но и на любом элементе цепи, если из группы параметров I, R, U известны любые два.

Если бы заряды двигались в вакууме, то работа А пошла бы на увеличение скорости их движения, A→E_кин.При движении зарядов в проводнике скорость направленного движения зарядов практически не изменяется во времени, поскольку в противном случае происходило бы перераспределение концентрации зарядов по проводнику. Получается, что под действием постоянной электрической. силы заряды в проводниках дрейфуют с постоянной скоростью. Это напоминает движение частиц в вязкой среде. Следовательно, работа электрических сил идет на преодоления "вязкого сопротивления" проводника направленному движению зарядов и должна поэтому выделяться в виде тепла.

Количественную связь между выделяющимся в проводниках теплом Q на сопротивлении R и током I нашли опытным путем Джеймс .Джоуль (1841, индукционный метод) и Эмилий Ленц (1844, нагревание спирали) Q = I²Rt = IUt= (8.16)

Связь между единицами тепловой мощности тока и напряжения очевидна: Вт = ВА, Дж = Втс = ВАс .

9. Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме определяет тепловую мощность, выделяющуюся в единице объема проводника.

Если по проводнику с удельной проводимостью g, длинной l и с постоянным сечением S проходит ток I, а на концах проводника напряжение U, то выделяющаяся в единице объёма проводника тепловая мощность равна (8.17)

10. Разветвленные цепи. Вычисление взаимодействий. Разветвлёнными называются цепи, содержащие узлы - точки, в которых содержится более трёх проводников.

В простейшем случае разветвлённая цепь содержит один источник тока и группу сопротивлений. Поэтому задача сводится к вычислению сопротивлений отдельных участков цепи и всей цепи в целом. Исходными для вычисления являются правила:

а) Сопротивление участка цепи из последовательно соединенных проводников равно сумме сопротивлений этих проводников . (8.18)

б) Проводимость участка цепи из параллельно соединённых проводников равна сумме проводимостей этих проводников или . (8.19)

В ся работа в дальнейшем сводится к разбиению цепи на такие однородные участки и подсчёту их сопротивлений. Схемы цепей полезно видоизменять, например, делая их более наглядными (рис.52-а), разделяя параллельные ветви в точках одинакового потенциала (рис.52-б), выбрасывая сопротивления, соединяющие эквипотенциальные точки и не вносящие вклада в проводимость цепи (риc.52-а и 52-в), рассекая цепь эквипотенциальными плоскостями на последовательные участки, состоящие из параллельно включенных сопротивлений (рис52-г).

Если все сопротивления на схеме (рис.52-а) одинаковы и равны R, то сопротивления цепи между точками A и B R_АВ = R.

Если на остальных рисун-ках каждый прямой отрезок между узла-ми на схеме имеет сопротивление R, то на рис.52-б_ R_АВ = 4R5. На рис.52-в R_АВ = 6R7, на рисунке 52-г. R_АВ = R2 + R4 + R6 + R6 + R4 + R2 = 11R6.

11. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа. В разветвленных электрических цепях, содержащих несколько источников тока, в разных участках, вычисление токов становится сложной задачей. Эти вычисления сильно упрощаются и формализуются, если пользоваться алгоритмом Кирхгофа, сформулированным им в идее двух правил:

1 -е. Сумма токов в узле равна нулю . (8.20)

2-е. Сумма падений напряжений в контуре равна сумме действующих в контуре ЭДС. (8.21)

Контуром называется кольцевой участок цепи. Первое правило выражает закон сохранения электрического заряда, второе закон Ома для замкнутой цепи.

При решении задач произвольно задается направление токов и произвольно выбирается направление обхода в контурах. В качестве примера рассмотрим технологию вычисления токов в ветвях цепи, показанной на рисунке (рис.53). Полагаем значения всех сопротивлений и ЭДС всех источников тока известными.

Токи, идущие вдоль направления обхода, принимаются положительными, против - отрицательными. ЭДС, действующие в направлении обхода, также считаются положительными, а против - отрицательными.

Чтобы задача могла быть решена, общее число уравнений должно быть равным числу неизвестных токов. В начале составляются уравнения для узлов. Число независимых уравнений для токов в узлах на одно меньше количества узлов. Остальные недостающие уравнения составляются для контуров. Их число равно числу внутренних областей плоской схемы без взаимопересечений ветвей. Целесообразно в первую очередь составить уравнения для внутренних контуров, то есть минимальных. В схеме цепи на рис.53 уравнение для узлов должно быть одно. Полагаем токи, входящие в узел, положительными, выходящие - отрицательными. Тогда, например, для узла 1: I₁  I₂  I₃ = 0 (8.22)

Всего неизвестных токов три, поэтому нужны ещё два уравнения. Составим их для внутренних контуров 1 и 2.

Контур 1: I₁R₁+ I₂R ₂ = E ₁  E ₂ (8.23)

Контур 2: I₂R₂+ I₃R₃ = E ₂  E ₃ (8.24)

Итак, имеем систему из трёх линейных уравнений с тремя неизвестными I₁, I ₂, I ₃.

В принципе неизвестными могут быть и другие величины. Но для получения однозначного решения число неизвестных параметров должно быть равно числу независимых уравнений.

Напомним, что направление токов и обхода произвольны. Если какой-либо ток в решении окажется отрицательным, это значит, что его действительное направление противоположно в начале принятому.