§9. Ток в металлах.

Природа носителей электрического тока в металлах была установлена в следующих экспериментах.

а . Опыты Карла Рике, 1901г, состояли в том, что через 3 очень хорошо прошлифованных торцевыми поверхностями цилиндра медь  алюминий  медь в течении года пропускался электрический ток (рис.54). Суммарный прошедший заряд составлял 3,510⁶ Кл. Взвешивание до и после опытов показала, что с точностью до 0,03мг масса цилиндров осталась неизменной. Это можно объяснить лишь тем, что электрический заряд в металлах переносится не ионами, а какими-то другими одинаковыми во всех металлах частицами.

б. Опыты Леонида Мендельштамма и Николая Папалекси, 1913г. Катушка с проводом, концы которого присоединены к телефону, приводилась в колебательное движение вокруг своей оси (рис.55). При этом телефон издавал звук с частотой, равной частоте колебаний катушки.

З вучание телефона можно объяснить тем, что носители электрического заряда в металлах обладают инертной массой и сравнительно слабо связаны с кристаллической решеткой металла.

в. Опыты Ричарда Толмена с сотрудниками (Т.Стюард). 19161926 г, развивали идеи Мендельштамма Папалекси и позволили получить первые количественные результаты.

Катушка с большим числом витков раскручивалась вокруг своей оси, а затем резко тормозилась. Концы провода катушки могли скручиваться и были присоединены к баллистическому гальванометру. Магнитное поле земли тщательно компенсировалось проводниками с током. При резком торможении катушки гальванометр давал отброс.

Если m  инертная масса носителей электрического заряда, а e их заряд, то тормозное изменение импульса носителей зарядов равно (mN)dv = Fdt = (eN)Edt (9.1)

Здесь N число носителей зарядов в объеме провода катушки.

Разделив на N и приняв во внимание, что E = Ul, где U  напряжение на концах провода, а l  его длина, и что U = Ri; где R  сопротивление цепи, а i  протекающий в цепи ток, получаем изменение импульса единичного носителя зарядов.

(9.2)

Проинтегрировав по времени торможения катушки, получаем:

(9.3)

Линейная скорость вращения составляла v = 300 м/с, длинна провода катушки l = 500 м. Опыты с медной, алюминиевой, серебряной проволоками. При различных сопротивлениях цепи R и различных значениях измерявшегося гальванометром заряда q удельный заряд носителей оказался одинаковым и равным em = 1,610¹¹ Кл/кг. Это было близко к результатам, полученным Дж. Томсоном двадцатью годами ранее в опытах с катодными лучами.

Обобщение результатов перечисленных ответов позволило сделать следующие выводы:

Носители электрических зарядов во всех металлах одинаковы;

Носители электрических зарядов в металлах вполне материальны, обладают инерцией и слабо связаны с кристаллической решеткой металла.:

Удельный заряд носителей составляет em = 1,610¹¹ Кл/кг.

Поскольку к этому времени (конец 20-х годов XX века) Милликен определил элементарный заряд e = 1.610^19 Кл, то оказалось возможным оценить инертную массу носителей. .

Носителями тока в металлах оказались электроны, обнаруженные ранее в катодных лучах (1897) и термоэлектронном облаке натриевых металлов. (1988, Т. Эдиссон).

В целом электропроводность следует рассматривать как явление переноса вещества и электрического заряда. Определяющим законом в последнем случае является закон Ома.

. (9.4)

2.Электронная теория проводимости металлов. В первом десятилетии XX века Пауль Друде и Гендрик Лоренц построили классическую, т.е. основанную на уравнении Максвелла электронную теорию проводимости металлов.

Они исходили из того, что валентные электроны в металлах связаны со своими атомами настолько слабо, что могут легко перемещаться от одного атома к другому лишь за счет энергии теплового движения. Такая совокупность валентных электронов толковалась ими как электронный газ, подчиняющийся статике Максвелла Больцмана и являющийся по своим свойствам идеальным.

Идеальность электронного газа означает, что электроны проводимости не сталкиваются между собой, они соударяются лишь с узлами кристаллической решетки и находятся с ними в тепловом равновесии. Из этого условия можно оценить среднюю тепловую скорость электронов

Рассмотрим, как объясняет теория проводимости Друде-Лоренца Законы Ома и Джоуля-Ленца. Для упрощения оценок полагаем, что все электроны проводимости имеют одинаковую скорость теплового движения  U.

а. Закон Ома. Если внутри металла создавать поле E, то на хаотическое движение электронов накладывается движение, направленное с некоторой средней скоростью дрейфа v. Ток, текущий в проводнике сечением S, равен I = enSv, где n концентрация электронов проводимости, e их заряд. Плотность тока . (9.5)

Найдем среднюю скорость дрейфа v. Будем полагать, что электрон под действием силы eE в промежуток времени  от одного соударения с узлом решетки до другого движется с ускорением a и увеличивает свою скорость от 0 до . (9.6)

Поскольку движение электрона в электрическом поле равноускоренное, то средняя скорость равна половине максимальной; , (9.7)

а плотность электрического тока равна . (9.8)

Формула (9.8) выражает закон Ома в дифференциальной форме в электронной теории. Коэффициент перед E расшифровывает макроскопическую характеристику проводника, удельную проводимость g через совокупность микрохарактеристик электронного газа.

Оценим среднее время  свободного пробега электронов проводимости на примере меди. Полагаем, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон. Если M молярная масса меди, d ее плотность, то концентрация свободных электронов . Подставив n в выражение удельной проводимости .

В промежуток времени  между двумя соударениями электрон проходит среднее расстояние , что составляет несколько десятков поперечных атомов.

Оценим среднюю скорость дрейфа v электронов проводимости в меди при напряженности поля E = 0,1 Вм. Из формулы (9.7) получаем:

Скорость дрейфа в миллиард раз меньше тепловой скорости u = 10⁵ м/с.

Заметим, что напряженность E = 0.1 В/м не столь уж малая, как может показаться величина. Она соответствует напряжению 0,1 В на концах провода 1 м. При таком напряжении через медный провод сечением S = 1 мм² проходит ток.

б. Закон Джоуля-Ленца. Масса электрона более чем в тысячу раз меньше массы атомов в узлах кристаллической решетки. Поэтому при неупругом соударении с узлом электрон останавливается, его скорость обращается в 0, а его кинетическая энергия дрейфа полностью отдается узлу. Так как в момент соударения (формула 9.6), то энергия, отдаваемая электронами в единице объема в течении одной секунда, равна

(9.9)

Эта энергия выделяется в виде тепла, поэтому формула (9.9) выражает закон Джоуля Ленца в дифференциальной форме. Выражение для удельной проводимости (9.10)

получилось то же самое, что и в формуле закона Ома (9.8).

Строго говоря, предположение, что электрон отдает всю энергию при столкновении с атомом справедливо лишь тогда, когда атом покоится. Но атомы колеблются, а соударения не являются абсолютно неупругим. Поэтому электроны могут как отдавать энергию (соударение с убегающим атомом), так и получить ее (соударения с набегающим атомом). В статистике в условиях теплового равновесия средняя энергия движения электронов при постоянной температуре остается постоянной.

Но когда электронный газ приобретает направленную скорость дрейфа, он приобретает избыточную над тепловой энергию движения. Эта энергия электронов неравновесная с энергией узлов. Поэтому она непрерывно передается узлам кристаллической решетки, повышая температуру проводника.

в. Закон Видемана Франца. В 1853 году немцы Г.Ведеман и Р.Франц установили, что отношение теплопроводности  к электропроводности g при одной и той же температуре одинаково у всех металлов. В 1882году датский физик Людвик Лоренц показал, что это отно-шение пропорционально абсолютной температуре Закон Видемана-Франца. (9.11)

Здесь L - коэффициент, одинаковый для всех металлов, его называют числом Лоренца.

Классическая электронная теория так объясняет этот закон.

Поскольку электроны очень подвижны, то можно полагать, что теплопроводность металлов обусловлено в основном теплопроводностью его электронного газа. Его коэффициент теплопроводности равен (9.12)

Здесь - средняя длина свободного пробега электронов, u - их средняя скорость теплового движения, i = 3  число степеней свободы электронов, k постоянная Больцмана.

Подставив в формулу (9.11)  из (9.12) и g из (9.10), где  =u, получаем: (9.13).

Из кинетической теории идеальных газов средняя скорость теплового движения электронов U² = 8kTm. Отсюда (9.14).

Классическая электронная теория в целом верно истолковывает закон Видемана Франца. Она расшифровывает число Лоренца L = 8k²m как комбинацию констант и прогнозирует линейную зависимость отношения g от температуры T.

4. Трудности классической электронной теории. Приведенные выше выводы принадлежат Друде и были сделаны им в предположении, что все электроны проводимости имеют одинаковую скорость u их теплового движения.

Генрик Лоренц уточнил выводы, приняв Максвеловское распределение электронов по скоростям. В результате в формуле закона Видемана Франца изменился коэффициент вместо 8 = 2,55 стало ровно 2. Однако уточненная формула стала хуже соответствовать опыту.

а. Молярная теплоемкость металлов должна слагаться из теплоемкости узлов решетки 3R и теплоемкости идеального газа электронов 3Rz2, где z число валентных электронов у атома. Полная теплоемкость получается равной 3R + 3Rz2. Но опыт дает теплоемкость 3R (Закон Дюлонга и Пти). Классическая теория не объясняет этого.

В формуле удельной проводимости g = ne²/2mu величина средней скорости u в соответствии со статистической теорией идеальных газов пропорциональна корню квадратному из температуры. Так как , то u  . Отсюда g = 1 ~ , или ~ . Но опыт дает линейную зависимость удельного сопротивления от температуры, , или  ~ T. Расхождение необъяснимо.

Совершенно не в состоянии классическая электронная теория объяснить явление сверхпроводимости. Суть его в том, что при определенной температуре, называемой критической T_к и близкой к абсолютному нулю у большинства химически чистых металлов, удельное сопротивление проводника падает скачком практически до нуля. Оценим, сделанные по времени затухания тока в сверхпроводящем кольце, показывает, что удельное сопротивление сверхпроводников не более 10^25 Омм. Для сравнения, удельное сопротивление меди в обычном состоянии равно 1,710^8 Омм.

В классической электронной теории r ~ , удельное сопротивление должно монотонно убывать с температурой, никакого скачка нет.

5. Границы применимости электронной теории. Классическая теория электропроводности твердых тел тем сильнее расходится с экспериментом, чем ниже температура проводника и чем выше концентрация электронов проводимости. В тех случаях, когда температур достаточно высока, T > T_комн, и концентрация носителей мала, использование электронной теории оправдано не только для качественных, но и для количественных оценок. Это очень ценная возможность, поскольку классическая электронная теория Друде-Лоренца много проще и нагляднее квантовой электронной теории.