2.13 Даны значения пористости (в %) напыленного покрытия шейки распределительного вала автомобиля газ-63:
12 |
13 |
11 |
15 |
13 |
12 |
14 |
15 |
17 |
15 |
14 |
12 |
14 |
18 |
11 |
14 |
15 |
16 |
17 |
15 |
15 |
13 |
19 |
15 |
13 |
12 |
17 |
15 |
14 |
16 |
14 |
16 |
14 |
16 |
17 |
15 |
14 |
16 |
19 |
16 |
17 |
13 |
13 |
15 |
11 |
13 |
16 |
15 |
14 |
15 |
14 |
16 |
18 |
17 |
16 |
15 |
14 |
15 |
20 |
17 |
16 |
18 |
16 |
15 |
16 |
18 |
16 |
18 |
16 |
18 |
14 |
17 |
10 |
17 |
14 |
14 |
18 |
20 |
12 |
16 |
19 |
14 |
15 |
15 |
17 |
15 |
16 |
16 |
15 |
15 |
13 |
15 |
14 |
17 |
12 |
15 |
15 |
16 |
12 |
17 |
2.14 Измерения прочности на отрыв 100 сварных образцов, выполненных контактной сваркой, дали следующие результаты (в т.):
1,98 |
4,88 |
2,90 |
3,80 |
3,28 |
6,00 |
4,73 |
4,30 |
3,48 |
2,06 |
6,05 |
5,18 |
6,05 |
3,32 |
4,96 |
3,22 |
4,35 |
4,19 |
5,32 |
3,71 |
5,31 |
3,88 |
4,96 |
3,12 |
5,21 |
5,14 |
2,40 |
5,08 |
4,50 |
6,05 |
4,06 |
3,60 |
3,61 |
5,53 |
5,14 |
4,70 |
5,50 |
3,95 |
3,03 |
4,28 |
3,41 |
4,34 |
2,90 |
2,06 |
2,32 |
5,31 |
4,96 |
2,55 |
2,75 |
3,80 |
3,48 |
4,50 |
3,66 |
3,73 |
4,20 |
4,00 |
6,00 |
3,55 |
4,28 |
3,08 |
4,66 |
6,08 |
3,90 |
2,66 |
1,98 |
2,16 |
2,66 |
2,74 |
2,75 |
4,20 |
3,04 |
3,35 |
3,50 |
3,62 |
3,66 |
4,38 |
4,50 |
4,67 |
4,72 |
1,90 |
5,62 |
5,24 |
5,41 |
3,10 |
4,06 |
4,22 |
2,55 |
4,88 |
2,99 |
3,72 |
2,20 |
3,38 |
3,19 |
6,05 |
6,20 |
5,61 |
4,38 |
2,85 |
6,00 |
4,76 |
2.15 Даны статистические данные о среднесуточном пробеге 100 автомобилей зил-130 (в сотнях км):
1,6 |
1,7 |
1,8 |
2,2 |
2,5 |
2,1 |
2,3 |
2,2 |
2,5 |
2,2 |
1,8 |
1,5 |
2,1 |
2,3 |
2,6 |
2,6 |
2,4 |
2,1 |
2,4 |
2,2 |
2,1 |
1,9 |
1,4 |
1,9 |
2,1 |
2,6 |
2,3 |
3,2 |
2,2 |
2,3 |
2,3 |
2,1 |
1,7 |
1,3 |
1,2 |
2,5 |
2,2 |
2,8 |
2,3 |
2,1 |
2,7 |
2,2 |
1,9 |
1,6 |
1,9 |
1,8 |
2,0 |
2,5 |
2,9 |
3,1 |
2,2 |
2,4 |
2,1 |
2,2 |
2,4 |
1,5 |
1,6 |
1,8 |
2,7 |
3,0 |
2,3 |
2,2 |
2,7 |
2,3 |
2,1 |
2,2 |
1,4 |
1,7 |
2,5 |
2,7 |
2,4 |
2,0 |
2,1 |
2,4 |
2,1 |
2,4 |
2,4 |
1,9 |
1,5 |
2,2 |
2,1 |
2,2 |
2,3 |
2,2 |
2,2 |
2,3 |
2,1 |
2,0 |
1,6 |
1,9 |
2,2 |
2,3 |
1,9 |
1,9 |
2,3 |
2,2 |
2,4 |
2,3 |
1,9 |
1,6 |
Таблица 7.1 ― Дополнительные сведения к вариантам заданий
N варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Объем выборки |
50 |
45 |
40 |
35 |
55 |
50 |
45 |
Уровень значи-мости |
0,2 |
0,1 |
0,05 |
0,01 |
0,02 |
0,1 |
0,05 |
Критерий согласия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гипотезы
|
|
|
|
|
|
|
|
N варианта |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
Объем выборки |
35 |
40 |
55 |
60 |
45 |
40 |
35 |
50 |
Уровень значимости |
0,02 |
0,01 |
0,2 |
0,1 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
0,2 |
Критерий согласия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гипотезы |
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание
1.
и
соответственно значения
и
в правом конце доверительных интервалов;
и
― в левом конце.
3. Образец решения задачи. Надо изучить в совокупности однородных объектов некоторый качественный или количественный признак, характеризующий эти объекты. Иногда проводят сплошное обследование, т.е. обследуют каждый из объектов совокупности, выясняя признак, который интересует. Но сплошное обследование применяют редко. Обычно отбирают из всей совокупности некоторое число объектов и изучают их.
Выборочной совокупностью или выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.
Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производят выборку.
Объёмом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов в этой совокупности.
Из
генеральной совокупности извлечена
выборка и для изучения некоторого
признака (случайной величины Х) проводят
независимые опыты или наблюдения.
Результаты их записывают обычно в том
порядке, в котором они поступают (значения
СВХ―
).
Это исходные данные, тот статистический
материал, который подлежит дальнейшей
обработке и анализу.
Разработкой методов сбора, описания и анализа экспериментальных данных (статистического материала), получаемых в результате наблюдений массовых случайных явлений, и занимается математическая статистика.
3.1
― размах
варьирования.
3.2
Составим статистический ряд распределения
частот (табл. 7.2). Для оценки закона
распределения СВХ
или её числовых характеристик производят
измерения объектов выборки, получают
значения признака
,
причем
наблюдали
раз,
―
раз,
― объём
выборки.
Наблюдаемые значения
― варианты,
а последовательность вариант, записанных
в возрастающем порядке, ― вариационный
ряд.
Числа наблюдений
― частоты,
а их отношения к объёму выборки
―относительные
частоты.
Записав вариационный ряд и указав
соответствующие значения частот (или
относительных частот), получим
статистический
ряд распределения СВХ.
Таблица 7.2 ― Вариационный ряд (столбец 1). Статистический
ряд распределения частот (столбцы 1 и 3).
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
Диаметр
головки (мм)
|
Штриховые отметки |
Частота
|
|
Диаметр головки (мм) |
Штриховые отметки |
Частота
|
13,32 |
⁄ |
1 |
|
13,47 |
⁄ ⁄ |
2 |
13,33 |
⁄ ⁄ |
2 |
|
13,48 |
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ |
4 |
13,34 |
⁄ ⁄ ⁄ |
3 |
|
13,49 |
⁄ ⁄ ⁄ |
3 |
13,35 |
⁄ |
1 |
|
13,50 |
⁄ ⁄ |
2 |
13,36 |
⁄ ⁄ ⁄ |
3 |
|
13,51 |
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ |
4 |
13,37 |
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ |
5 |
|
13,52 |
⁄ ⁄ |
2 |
13,38 |
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ |
5 |
|
13,53 |
|
0 |
13,39 |
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ |
11 |
|
13,54 |
⁄ ⁄ |
2 |
13,40 |
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ |
6 |
|
13,55 |
⁄ |
1 |
13,41 |
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ |
6 |
|
13,56 |
⁄ |
1 |
13,42 |
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ |
7 |
|
13,57 |
⁄ |
1 |
13,43 |
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ |
5 |
|
13,58 |
⁄ |
1 |
13,44 |
⁄ |
1 |
|
13,59 |
⁄ |
1 |
13,45 |
⁄ ⁄ ⁄ |
3 |
|
13,60 |
⁄ |
1 |
13,46 |
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ |
4 |
|
13,61 |
|
0 |
|
|
|
|
13,62 |
⁄ |
1 |
Контроль
.
Для удобства подсчёта частот вариант ставим черточки, соответствующие единице счета.
3.3
Изучение непрерывных случайных величин
начинают с группировки статистического
материала, т.е. с разбиения
на
частичных интервалов равной длины и
подсчёта частот попадания наблюдаемых
значений СВХ
в частичные интервалы. Число интервалов
выбирают произвольно
или рассчитывают по формуле
(7.1)
где
― объём выборки; h
― длина интервала.
Число
интервалов равно округленному до целого
.
Округляя
до целого, выберем число интервалов
,
тогда
.
Составим интервальные статистические ряды распределения частот и относительных частот (таблица 7.3, столбцы 2;4 и 2;5).
Таблица 7.3 ― Интервальные статистические ряды.
№ ин-тер-вала |
Интервалы
|
Подсчет частот |
Час-тота в интер-вале,
|
Относи-тельная частота,
|
Накоп-ленная
частота,
|
Относи-тельная
накоплен-ная частота,
|
Плот-ность часто-ты,
|
Плотность относитель-ной частоты,
|
Середина интервала,
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
1 |
|
1+2+3+1+3 |
10 |
|
10 |
|
|
|
13,345 |
2 |
|
5+5+11+6+6 |
33 |
|
43 |
|
|
|
13,395 |
3 |
|
7+5+1+3+4 |
20 |
|
63 |
|
16 |
|
13,445 |
4 |
|
2+4+3+2+4 |
15 |
|
78 |
|
|
|
13,495 |
5 |
|
2+2+0+1+1 |
6 |
|
84 |
|
|
|
13,545 |
6 |
|
2+1+1+1+0+1 |
6 |
|
90 |
1 |
20 |
|
13,595 |
Контроль:
,
.
В столбцах 6-10 подсчитаны числа, нужные при выполнении следующих пунктов задачи.
3.4. Для наглядности статистические ряды представляют графиками и диаграммами. Наиболее распространенными графиками являются полигон и гистограмма. Полигон применяют для изображения как дискретных, так и интервальных статистических рядов, гистограмму применяют для изображения только интервальных рядов.
Строим полигон относительных частот по данным столбцов 5 и 10 (табл. 7.3).
Рисунок 7.1.
Полигон
относительных частот (частот)―ломаная,
звенья которой соединяют точки
.
По данным столбцов 2 и 9 таблицы 7.3 строим гистограмму относительных частот (рисунок 7.2).
Гистограмма
относительных частот (частот)―ступенчатая
фигура, состоящая из прямоугольников,
основаниями которых служат частичные
интервалы
,
а высоты равны отношению
―плотности
о
тносительной
частоты
.
Рисунок 7.2.
Площадь
гистограммы относительных частот равна
.
По
гистограмме и полигону относительных
частот можно судить о форме эмпирической
кривой распределения ― графике функции
.
3.5 По данным таблицы 7.2 (столбцы 2 и 7) найдем эмпирическую функцию распределения
.
Таблица 7.4 ―Эмпирическая функция распределения.
Х |
13,32 |
13,37 |
13,42 |
13,47 |
13,52 |
13,57 |
>13,62 |
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
Построим
график
:
сначала на интервалах
и
,
а затем в указанных в таблице 7.4 точках.
Учитывая непрерывность функции
,
полученные точки соединим (рисунок
7.3).
Рисунок 7.3.
3
.6.
Находим
по формуле
,
(7.2)
где
―середина
i-го
интервала;
―его
частота; n―объём
выборки (столбцы 10 и 4 таблицы 7.3).
.
Вычислим
по формуле
(7.3)
.
.
3.7. Полигон и гистограмма относительных частот (рисунки 7.1 и 7.2) напоминают нормальную кривую (кривую Гаусса, рисунок 7.4). Поэтому предположим, что распределение СВХ (диаметра головки заклепки) является нормальным.
3.8. Плотность вероятности и функция распределения СВХ, распределённой по нормальному закону, имеют вид:
,
(7.4)
.
(7.5)
Найдем
точечные оценки параметров а=М(Х)
и
нормального распределения:
(7.6)
Следовательно,
плотность
вероятности
предполагаемого распределения
имеет вид:
,
её график
Рисунок 7.4.
и функция распределения
(учли формулы 7.4, 7.5 и 7.6).
3.9.Проведем проверку гипотезы о нормальном распределении СВХ― диаметра головки заклепки.
Вероятность
попадания СВХ, распределенной по закону
,
в интервал
найдем по формуле
,
(7.7)
где
―функция
Лапласа.
Вероятность
попадания СВХ в первый частичный интервал
равна (учтем, что
):
.
.
Получили
вероятность попадания СВХ в
.
.
Получили
вероятность попадания СВХ в
.
.
Получили
вероятность попадания СВХ в
.
.
Получили
вероятность попадания СВХ в
.
.
Получили
вероятность попадания СВХ в
.
а)
Проверим гипотезу о нормальном
распределении с помощью критерия
согласия
–Пирсона.
Вычисления, необходимые для определения
наблюдаемого значения выборочной
статистики
,
проведем в таблице 7.4.
Таблица 7.4 ― Определение выборочной статистики .
Интервалы наблюдаемых значений СВХ |
Частота
|
|
|
|
|
|
10 |
0,17105 |
15,3945 |
29,1006 |
1,8903 |
|
33 |
0,22255 |
20,0295 |
168,2339 |
8,3993 |
|
20 |
0,2655 |
23,895 |
15,1710 |
0,6349 |
|
15 |
0,20305 |
18,2745 |
10,7223 |
0,5867 |
|
6 |
0,0995 |
8,955 |
8,7320 |
0,9708 |
|
6 |
0,03835 |
3,4515 |
6,4948 |
1,8817 |
|
90 |
1 |
90 |
|
|
Из
таблицы распределения
по уровню значимости
и числу степеней свободы
(k―число
интервалов, r―число
параметров распределения) находим
.
Так как
,
то отклоняем гипотезу о нормальном
распределении диаметров головок
заклепок.
б) Проверим гипотезу о нормальном распределении с помощью критерия согласия –Колмогорова.
Все вспомогательные расчеты, необходимые для нахождения выборочной характеристики , сведем в таблицу 7.5.
Таблица 7.5―Нахождение выборочного значения .
Интервалы наблюдае-мых зна-чений СВХ |
Час-тота
|
|
|
|
|
|
|
10 |
10 |
0,17105 |
|
0,17105 |
0,0599 |
|
33 |
43 |
0,22255 |
|
0,3936 |
0,0842 |
|
20 |
63 |
0,2655 |
|
0,6591 |
0,0409 |
|
15 |
78 |
0,20305 |
|
0,86215 |
0,0045 |
|
6 |
84 |
0,0995 |
|
0,96165 |
0,0283 |
|
6 |
90 |
0,03835 |
1 |
1 |
0 |
|
90 |
|
|
|
|
|
,
По
таблице квантилей распределения
Колмогорова и уровню значимости
(надежность
)
находим критическое значение
.
Так
как
,
то нет оснований для отклонения гипотезы
о нормальном распределении диаметров
головок заклепок.