3.10. Доверительный интервал, накрывающий математическое ожидание свх с надежностью имеет вид:
.
По
таблице квантилей распределения
Стьюдента по заданному уровню значимости
и числу степеней свободы
найдем квантиль
.
Вычислим точность оценки
.
Искомый доверительный интервал для М(Х)=а:
.
Замечание
7.2. Если СВХ распределена по нормальному
закону, параметры которого
и
неизвестны, то доверительный интервал
для М(Х)=а строят и иначе
,
где
―число
степеней свободы;
―квантиль
распределения Стьюдента (его находят
в таблице).
Доверительный интервал, накрывающий среднее квадратическое отклонение СВХ с надежностью :
или
короче
,
где
.
По
таблице распределения
по заданной доверительной вероятности
и числу степеней свободы
найдем числа
,
.
Искомый доверительный интервал для параметра :
.
3.11. Из таблицы 7.1 имеем . Надо проверить нулевую гипотезу : против альтернативной .
Правило
7.1. Чтобы при заданном уровне значимости
проверить нулевую гипотезу
(о равенстве
СВХ, распределенной по закону
,
предполагаемому значению
)
при альтернативной гипотезе
,
надо вычислить наблюдаемое значение
U-критерия
и по таблице функции
Лапласа найти критическое значение
двусторонней критической области из
равенства
.
Если
,
то
принимают; если
,
то нулевую гипотезу отклоняют и принимают
альтернативную гипотезу
.
По таблице значений функции Лапласа и по уровню значимости находим
.
Вычислим
Так
как
,
то нулевую гипотезу отвергаем и принимаем
альтернативную гипотезу
.
Правило
7.2. Пусть
и альтернативная гипотеза
.
Критическое значение
правосторонней критической области
находят из равенства
.
Если , то нулевую гипотезу принимают; если , то нулевую гипотезу отвергают, принимают альтернативную.
Правило
7.3. Пусть
и альтернативная гипотеза
.
По правилу 7.1 находят вспомогательное
критическое значение
,
полагают
(граница левосторонней критической
области). Если
.
но принимают; если
,
но отвергают (наблюдаемое значение
―критерия
попадает в критическую область) и
принимают альтернативную гипотезу
.
3.12. Из таблицы 7.1 имеем . Проверим гипотезу против альтернативной .
Правило
7.4. Для того чтобы при заданном уровне
значимости
проверить нулевую гипотезу
о равенстве неизвестной дисперсии
предполагаемому значению
при альтернативной гипотезе
,
вычисляют наблюдаемое значение
и по таблице распределения
―Пирсона
находят критическое значение (по
уровню значимости
числу степеней свободы
)
.
Если
,
то нулевую гипотезу принимают; если
,
то отвергают нулевую гипотезу в пользу
альтернативной.
Правило
7.5. Пусть
и альтернативная гипотеза
.
Находят критические левую и правую
точки
и
по таблице распределения
―Пирсона.
Если
(наблюдаемое значение критерия попало
в область допустимых значений), то
нулевую гипотезу
принимают. Если
или
,
то отклоняют в пользу альтернативной
гипотезы
.
Правило
7.6. Пусть
и альтернативная гипотеза
.
Находят критическое значение
.
Если
,
то
принимают; если
,
то
отклоняют, принимают альтернативную
гипотезу
.
Замечание
7.3. Если число степеней свободы
,
то
можно найти из равенства Уилсона-Гильферти
,
где
находят, используя функцию Лапласа, из
равенства
.
Вычислим
.
По уровню значимости и числу степеней свободы находим .
Так как
найдем
,
.
и потому гипотезу
отвергаем, принимаем гипотезу
.
Литература.
1. Герасимович А.И. Математическая статистика. Минск. Вышэйшая школа, 1983 г.
2. Гурский Е.И. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике. Минск. Вышэйшая школа, 1984 г.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Москва. Высшая школа, 2002 г.
4. Булдык Г.М. Теория вероятностей и математическая статистика. Минск. Высшая школа, 1989 г.
5. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. Москва. Высшая школа, 1998 г.
6. Копытов А.Е., Гринглаз Е.А. Теория вероятностей и математическая статистика. Питер, 2004 г.
7. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Москва. Высшая школа, 2004 г.
8. Колемаев В.А. Теория вероятностей и математическая статистика. Москва. Высшая школа, 2002 г.
9. Белько И.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Примеры и задачи. Минск. Новое знание, 2002 г.
10. Фигуркин В.А., Оболонкин В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Минск. Новое знание. 2000 г.
11. Мацкевич И.П. и др. Сборник задач и упражнений по высшей математике. Теория вероятностей и математическая статистика. Минск. Вышэйшая школа, 1996 г.