Введем на множестве с операцию умножения

(a,b)*(с,d)=(aс-bd,ad+bc) (**)

Лемма 2 Множество С^#=С\{(0,0)} с операцией (**) является абелевой группой

1 Т.к. a+c,b+dR, то (aс-bd,ad+bc)С^#

следовательно операция (*) определена на С^#

2 ассоциативность

3 (1,0) яиляется нулевым

4  (a,b) С  элемент С^#, являющийся противоположным

5 коммутативность

(a,b)*(с,d)= (aс-bd,ad+bc)

(с,d)*(a,b)=(ca-db,da+cb)

(a,b)*(с,d)= (с,d)*(a,b)

Теорема 1 Множество с с операциями (*) и (**) является полем

Док-во

1 По Лемме 1алгебраическая система (С,+) абелева группа

2 По Лемме 2 (С^#,*) абелева группа

3  (a,b), (с,d), (e,f)С

(a,b)*( (с,d)+(e,f))= (a,b)*(с+e,d+f)=(a*(c+e)-b*(d+f),a*(d+f)+b*(c+e))=( ac+ae-bd-bf,ad+af+bc+be)=(ca-bd,ad+bc)+(ae-bf,af+be)=(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)

Построенное поле называется полем комплексных чисел, а элементы этого поля комплексными числами.

Комплексные числа в алгебраической форме

Поры вида (a,0)С складываются и умножаются как действительные числа

(a,0)+(b,0)=(a+b,0)

(a,0)*(b,0)=(ab-0*0,a*0+b*0)=(ab,0)

Пару (0,1) обозначим через i. Заметим, что (b,0)*(0,1)=(b*0-0*1,b*1+0*0)= =(0,b)

Следовательно bi=(0,b)

Тогда компл-е число (a,b)=(a,0)+(0,b)=a+bi

Отметим также, что i² = (0,1)*(0,1)=(0*0-1*1,0*1+0*1)=(-1,0)= -1

Опр Запись a+bi называется алгебраической формой комплексного числа (a,b), число a – действительная часть, bi – мнимая часть. Из (*) и (**) следует, что (a+bi)+(с+di)=(a+c)+(b+d)*i

(a+bi)*(с+di)=(ac-bd)+(ad+bc)*i

Опр Для комплексного числа a+bi число a-bi называется сопряженным.

Если a+bi=z ,то a-bi= , z= zR/

Лемма 3 Сумма и произведение двух сопряженных чисел являются действительными числами.

Правило деления комплексных чисел. При делении комплексного числа на a+bi на ненулевое комплексное число c+di необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на число сопряженное знаменателю.

Правило извлечения квадратного корня

Тригонометрическая форма комплексных чисел. Введем на плоскости прямоугольную систему координат и каждому комплексному числу z поставим в соответствие точку с координатами (a,b). Это соответствие будет взаимно однозначным. Действительным точкам соответствуют точки на оси OX. А числам вида bi соответствуют точки на оси OY. Положение точки (a,b) полностью определяется полярными координатами.

a=rcos() z=a+bi=rcos()+i rsin()

b=rsin()

Запись комплексного числа в таком виде называется тригонометрической формой комплексного числа.

Неотрицательное число r наз-ся модулем комплексного числа (z= )

 - называется аргументом комплексного числа и обозначается arg z

Формула для вычисления аргумента, если a=0, то или Arg z = если a0, то 1) z1 или 4 четверти arctg . 2) z2 или 3 четверти arctg +

Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме

Теорема При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются а аргументы складываются. Док-во. Пусть z₁ = z₁(cos ₁+i sin ₁) , z₂ = z₂(cos ₂+i sin ₂), z₁ *z₂= z₁(cos ₁+i sin ₁) * z₂(cos ₂+i sin ₂)=  z₁* z₂( cos _1* cos ₂+i sin ₁ cos ₂ +i sin ₂ cos ₁+i² sin ₁ sin ₂)=  z₁* z₂*( cos (₁+₂)+i sin(₁+₂)).

При делении комплексных чисел их модули делятся а аргументы вычитаются.

Док-во: z₃=  z₁= z₃ *z₂. По предыдущей теореме  z₁= z₃* z₂ . Arg z₃= Arg z₁ -Arg z₂

Возведение в степень комплексного числа. При возведении в степень комплексного числа z= z(cos +i sin ), с целым показателем n его модуль возводится в степень, а аргумент умножается на показатель n. Т.е. zⁿ= zⁿ(cos n+i sin n)

(Для док-ва рассмотреть произведение 2 чисел(т.е. квадрата числа), затем предположить что утверждение верно для n-1 степени числа и наконец найти n-ю степень числа используя известную

n-1-ю степень).

Опр Формула zⁿ= zⁿ(cos n+i sin n) называется формулой Муавра