Извлечение корня из комплексного числа

Пусть nN n>1. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число c такое что cⁿ=z.

Теорема Пусть z комплексное число, n>1 nN. В поле комплексных чисел при z=0 имеет единственное значение, а именно =0. Если z0, то корень n-й степени из z имеет n различных значений и если z=  z(cos +i sin ), то k=0,1,2,…

Док-во: При z=0 утверждение очевидно.Пусть теперь z 0, z=z(cos +i sin ). Т.к. zнеотрицательное число, то существует . Следовательно можно рассматривать комплексное число С_k= k=0,1,2,… Каждое из чисел С_k является корнем n-й степени из числа z . z(cos +i sin )

Корни из единицы 1=cos 0 +i sin 0. Из предыдущей теоремы получаем

Теорема. В поле комплексных чисел имеется n различных значений , которые вычисляются по следующим формулам: ,k=0,1,2,…

5. Определители (формула определителя квадратной матрицы; вычисление определителей малых порядков; вычисление определителя разложением по строке (столбцу); теорема об определителе произведения матриц; обратимые матрицы; вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений).

О: Пусть k,l N, - матрицей над полем P, будем называть совокупность элементов поля P, записанную в виде прямоугольной таблицы. А= .

Будем рассматривать только квадратные матрицы.

Пусть А={a }- квадратная матрица.

О: Определителем или детерменантом матрицы А называется число, которое обозначается |A| или detA и вычисляется по формуле detA= .

О: Пусть А- квад-я матрица порядка n . Матрица А называется обратимой, если существует матрица В квад-я матрица порядка n, т.что АВ=ВА=Е – в этом случае матрица В наз-ся обратной для матрицы А и обозначается А .

Вычисление обратной матрицы.

Теорема 1: Обратную матрицу А с помощью элементарных преобразований можно превратить в единичную, применяя те же элементарные преобразования в том же порядке из единичной матрицы получим обратную для матрицы А. (А|Е)=(Е| А ).

Теорема 2: Квадратная матрица А обратима т.т.т., когда она невырождена причем если матрица А невырождена, то

А = , где =(-1) - алгебраическое дополнение, -минор для элемента -называется определитель матрицы полученной из матрицы А вычеркиванием i-строки, j- столбца.

6. Системы линейных уравнений (совместные, несовместные и равносильные системы; критерий совместности системы линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли); крамеровская система; правило Крамера и матричный метод решения крамеровских систем; однородная система линейных уравнений; условия существования ненулевого решения однородной системы линейных уравнений). Опр. Системой k линейных уравнений c m неизвестными называется совокупность уравнений вида Числа a_ij называются коэффициентами системы, числа b_i – свободные члены системы, числа a_ij и b_i выбираются из некоторого фиксированного поля P.Решением системы называется совокупность элементов из поля P при подстановке которых в уравнения системы вместо каждое из уравнений обращается в верное равенство. Решить систему уравнений значит найти все её решения или доказать, что их нет. Опр. Система линейных уравнений имеющая хотя бы одно решение называется совместной. Система, не имеющая ни одного решения называется несовместной.

Матрица составленная из коэффициентов уравнений системы называется матрицей системы линейных уравнений. Если к матрице A добавить столбец свободных членов , то получим : , если обозначить через матрицу

из неизвестных элементов, а через - матрицу из свободных членов, то систему линейных уравнений можно записать в виде матричного уравнения: A*X=C. Эта запись называется матричной записью системы линейных уравнений.

Опр Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений системы будем называть следующие преобразования:

1. Умножение какого – либо уравнения на ненулевое число

2. Прибавление к одному уравнению второго уравнения системы, умноженного на некоторое число.

Опр Две системы линейных уравнений от одних и тех же переменных называются равносильными, если каждое решению первой системы является решением второй системы и наоборот, или же если обе системы несовместны.

Имеют место следующие теоремы

Теорема 1.При элементарных преобразованиях система переходит в равносильную ей систему.

Опр. Система линейных уравнений называется ступенчатой если её расширенная матрица является ступенчатой.

Теорема 2. Всякую систему линейных уравнений можно привести к ступенчатой системе с помощью элементарных преобразований

Опр. Пусть дана система линейных уравнений (1)

Эту систему (1) можно записать в виде матричного уравнения AX=B, где

, ,

Система линейных уравнений называется крамеровской системой если выполняется два условия:

1. Число уравнений равно числу неизвестных

2. Det (определитель) матрицы системы  0

Теорема 3 . Крамеровская система имеет единственное решение _{, i=1,2,3,…..,k}

где d –определитель матрицы системы, d_i определитель матрицы, у которой в i-ом столбце стоят свободные члены b₁ ,b₂ ,b₃ , … ,b_к , все остальные столбцы как у матрицы системы.

Док – во Пусть система (1) крамеровская. Тогда k = m и detA0, тогда существует матрица обратная A – A^-1. Заметим, что система (1) и матричное уравнение AX=B (2) равносильны.

Покажем, что матричное уравнение (2) имеет единственное решение.

Умножим обе части (2) слева на A^-1 . Получим A^-1(AX)=A^-1B, X=A^-1B. Таким образом система (1) имеет решение Тогда X_i= (A_1ib₁+ A_2ib₂+…+ A_kib_k)= , i=1,….,k

Теперь докажем что решение крамеровской системы единственное

Пусть X₁ и X₂ два решения крамеровской системы. Тогда AX₁=B и AX₂=B

Отсюда X₁=X₂

Теорема 4 (Кронекера-Капелли)

Для того чтобы система линейных уравнений была совместна необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы.

Док – во. 1 НЕОБХОДИМОСТЬ. Пусть система (1)

совместна и решение системы. Тогда

………………………….

(2)

Выпишем расширенную матрицу системы Матрица системы это матрица Преобразуем матрицу B с помощью элементарных преобразований следующим образом. От последнего столбца отнимем i-й столбец умноженный на c_i (для всех i от 1 до m). Получим:

Учитывая (2) получаем Матрица T получена из матрицы B с помощью элементарных преобразований. Так как элементарные преобразования не меняют ранг матрицы, то ранг матрицы В равен рангу матрицы T.Очевидно, что ранг матрицы T =rang(A) rang(A) =rang(B)

2 ДОСТАТОЧНОСТЬ. Пусть ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Докажем, что система (1) совместна. Пусть rang(A)= rang(B)=r. Тогда матрице A есть ненулевой минор r-го порядка, а все миноры r+1-го порядка равны 0. Не нарушая общности рассуждения можно считать, что ненулевой минор r-го порядка расположен в верхнем левом углу матрицы A т.е.

В системе (1) выделим 1-ые r уравнений (3)

Покажем, что система (1) и (3) равносильны. Так как система (3) является частью системы (1), то любое решение системы (3) всегда является решением системы (1).

Пусть ₁,₂,…., _m – решение системы (3). Тогда при подстановке в систему (1) чисел ₁,₂,…., _m вместо x₁,x₂,…., x_m . Первые R уравнений обратятся в верные равенства. Покажем, что остальные

k-r уравнений системы (1)обратятся в верное равенство, т.е.

a_t1₁+ a_t2₂+…+ a_tm_m=b_t ,  t=r+1,r+2,…,k

Выпишем расширенную матрицу системы (1)

. Преобразуем эту матрицу следующим образом. Умножим 1-й столбец на -₁, 2-й столбец на -₂ и т.д. m-й столбец на -_m и прибавим все к последнему столбцу. Получим матрицу T

Т.к. ₁,₂,…., _m решение системы(3), то верхние r элементов последнего столбца матрицы T равны 0. Обозначим b_t-a_t1₁-a_t2₂-…..--a_tm_m=_t, t=r+1,r+2,…,k. Таким образом матрица T примет вид

. Матрица T получена из матрицы B с помощью элементарных преобразова-ний  rang(T)=rang(B)=r  В матрице T любой минор (r+1)- го порядка =0

В частности равен 0 минор

Т.к. по условию минор D0, то _r+1=0. Аналогично можно показать, что числа _r+2,… ,_k=0  a_t1₁₊a_t2₂₊…..+a_tm_m= b_t, где t=r+1,r+2,…,k. Это означает, что последние k-r уравнений в системе (1) обращаются в верные равенства.  любое решение системы (3) является решением системы (1). Мы доказали, что системы (1) и (3) равносильны.

Опр. Линейное уравнение называется однородным если свободный член в нем =0.Система линейных ур-й состоящая из однородн. ур-й наз-ся однородной. Эта система всегда совместна т.к. имеет решение x₁= x₂=….= x_n=0. Это решение будем называть нулевым решением.

Теорема 5 Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных

Док-во. 1. Пусть однородная система имеет ненулевой ранг. Допустим, что rang(A)=n (числу неизвестных). Тогда система (1)следующей крамеровской системе

(2). Тогда (2) а значит и исходная система имеет единственное решение. И т.к. (2) однородная то это решение нулевое. Получили противоречие  rang(A)<n

2. Пусть rang(A)<n тогда следуя алгоритму, мы заключаем, что система имеет бесконечно много решений, среди них будут и ненулевые.

7. Кольцо многочленов от одной переменной (теорема о делении с остатком, алгоритм Евклида и нахождение наибольшего общего делителя двух многочленов с его помощью; корни многочленов; теорема Безу; основная теорема алгебры комплексных чисел (теорема Гаусса) и её следствия; комплексные корни многочленов с действительными коэффициентами).

Пусть А некоторое кольцо с единицей, построим новое кольцо В элементами которого будут является упорядоченная последовательность, элементы которого принадлежат А.

Теорема: (О кольцах многочленов)Множество В с операцией * (сложения) и ** (умножения) образует кольцо с единицей.

Теорема: (о делении с остатком)Пусть Р- поле и g(x) ненулевой многочлен из кольца Р[х], тогда каждому многочлену f(x) Р[х] cоответствует единственная пара многочленов q(x),r(x) Р[х] такая что f(x)=q(x)g(x)+r(x), причем deg r(x)<deg g(x), где q – неполное частное, r – остатком.

О: Если многочлены f(x) и g(x) делятся на многочлен d(x), то многочлен d(x)- называется их общим делителем. Если многочлен d(x)- яв-ся общим делителем f(x) и g(x) и делится на другой делитель этих многочленов, то он называется НОД этих многочленов. НОД(f(x),g(x))=d(x)

Алгоритм Евклида и его приложения.

Пусть f(x) и g(x) Р[х], где Р- поле. Пусть многочлен g(x) – ненулевой. Если g(x)|f(x)? То НОД(f(x),g(x))=g(x).

Пусть g(x) не делит f(x), то по теореме о делении с остатком f(x)=g(x)q (x)+r (x), deg r (x)<deg g(x),

g(x)= r (x)q (x)+r (x), deg r (x)<deg r (x) ,

r (x)= r (x) q (x)+ r (x), deg r (x)<deg r (x),

…………………………………………………..

r (x)= r (x) q (x)+ r (x), deg r (x)<deg r (x) (1)

r (x)= r (x) q (x)

deg g(x)> deg r (x)>….> deg r (x)

Цепочка равенств (1) называется алгоритмом Евклида.

Теорема: Если f(x) и g(x) Р[х], где Р- поле и g(x) – ненулевой, то НОД этих двух многочленов всегда существует. Если g(x)|f(x) то НОД(f(x),g(x))=g(x), если же g(x) не | f(x), то НОД(f(x),g(x))=

последнему ненулевому остатку в алгоритме Евклида.

О: Если многочлен f(x) над полем Р степень которого 1, не имеет других делителей, кроме многочленов а и а f(x), где а , то f(x) – называется неприводимым многочленом над полем Р.

Теорема: всякий многочлен f(x ) степень которого 1 над полем Р – можно представить в виде произведения неприводимых над полем Р многочленов.

Пусть Р- поле, f(x) = a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+…+ a₀  P[x], c  P. Тогда f(с) = a_nсⁿ+ a_n-1с^n-1+…+ a₀ называют значением многочлена f(x) для с.

Если f(с) = 0, то с – корень f(x).

Теорема (Безу): c  P является корнем f(x)  P[x]  f(x) = (х – с)q(x), q(x)  P[x].

Док-во: f(x) = (х – с)q(x) + r(x), deg r(x) < deg(x – c)=1, т.к deg r(x) может быть либо 0,

либо -, то r(x) = r  P. f(с) = (с – с)q(x) + r(x) = 0q(x) + r = r.Следовательно f(х) = (х – с)q(x) + f(с) (#)

1) Если c  P является корнем f(x), то f(с) = 0  из (#) f(х) = (х – с)q(x).

2) Если f(х) = (х – с)q(x), то f(с) = (с – с)q(с) = 0  c является корнем f(x).

Теорема (Гаусса): В поле C многочлен из C[x] имеет хотя бы один корень, если deg многочлена 1.

Следствие 1: В поле комплексных чисел f(x)  С[x] имеет ровно n корней, если deg f(x) = n 1.

Следствие 2: Неприводимыми над С являются только многочлены 1-ой степени.

Теорема (корни многочленов с действительными коэффициентами):

Док-во: Пусть f(x) = a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+…+ a₁х + a₀, т.к. z – корень, то f(z) = 0, т.е.

a_n z ⁿ+ a_n-1 z ^n-1+…+ a₁ z + a₀ = 0.

Пусть f(x)R[x], z = a + bi – корень f(x), тогда тоже корень f(x).

Следствие 1: Многочлен над R нечетной степени имеет хотя бы 1 действительный корень.

Следствие 2: Неприводимыми над R являются многочлены первой степени и второй степени с отрицательным дискриминантом.

8. Векторное пространство над полем, примеры (понятие подпространства; линейная зависимость векторов; базис векторного пространства; понятие размерности; координаты вектора; евклидовы и унитарные пространства; длина вектора; теорема Коши-Буняковского; ортонормированные базисы).

Пусть <A,+> - абелева гр и P – нек поле. Предп, что и однозн опред-о их произвед , тогда гр А назыв лин вект постр-ом над полем Р, если и вып след рав-ва: 1) ; 2) 1а=а; 3) ; 4) . Примеры: 1) V³-мн-во всех геом в-в вект-го пр-ва. 2) V²-мн-во всех геом в-в принадл некотор фиксир пл-ти, V¹-мн-во всех в-в лежащ на фиксир прям.; 3) М(n,P) – мн-во всех матриц с элем в поле Р; 4) Рⁿ – n-я декартова степень поля Р. 5) С[a,b] – мн-во всех действит ф-ий, непрер на [a,b]. 6) P[x]-мн-во всех многочл с коэф поля Р, P_n[x] –мн-во всех тех мн-ов, степ кот не превыш n.7)V={a}-одноэлем-ое мн-во

Пусть V-лин вект пр-во над полем Р, и пусть , тогда А назыв подпростр-ом пр-ва V, если: 1) 2) .

Пусть V-лин вект пр-во над полем Р, и пусть -произвольная сист в-в. Сист в-в назыв лин завис, если найд такие скаляры не равные одноврем 0, что . Если это рав-во возм лишь в случ когда , то сист лин независ.

Сист назыв базисом пр-ва V, если 1) эта сист явл сист образ-их для V; 2) эта сист лин независ. Сист назыв сист образующих пр-ва V, если V=L( ), т.е. любой в-р есть лин комбин в-в сист.

Пусть V-лин вект пр-во над полем Р. Если в пр-ве V найд сист лин независ в-в, сост-я из n эл-ов, то гов-т, что пр-во V-бесконечно мернои пиш. , когда -нулев вект пр-во, в нём нет лин завис сист в-в, и поэт V-нульмерное вект пр-во, dim V=0. если в вект пр-ве есть n лин независ в-в, а любая сист содерж n+1 в-рлин завис, то гов V-n-мерное вект пр-во над Р и пишут dim=n.

Пусть V-вект пр-во над пол Р и пусть -нек базис пр-ва. Для произ в-ра х найд еголин выр-е ч/з в-ра сист. , получ. .Это рав-во назыв разлож в-ра х по вект базиса, при этом скаляры назыв коор-ми в-ра х, относ базиса . Теор: Коорд в-ра относит фиксир базиса однозн определены.

Вект пр-во назыв действит, если оно определ над полем действит чисел. Пусть V-действит вект пр-во. Предпол, что кажд паре в-в сопост некот действит число, обознач (a,b), прич вып след усл: 1) (a,b)=(b,a); 2) (a+b,c)=(a,c)+(b,c); 3) ; 4) , тогда гов, что в пр-ве V зад скал. произвед. Действит пр-во, в кот введ скал произв назыв Евклидовым пр-ом.

Унитарным пр-ом назыв компл-ое вект пр-во, в кот введено скал умнож в-в.

V-произ Евклид пр-во, тогда длиной в-ра назыв число .

Теор: Для люб 2-х в-в a,b Евклид пр-ва справ нер-во: наз нер-ом Коши-Буняк.

Сист в-в назыв ортонормир, если эта сист ортогон и все в-ра сис им одну длину.

9. Линейные отображения (ядро и образ линейного отображения; ранг и дефект линейного оператора, примеры; матрица линейного оператора; собственные векторы и собственные значения линейных операторов; ортогональные и самосопряженные линейные операторы; теорема об ортогональных и самосопряженных линейных операторах).

V и W-пр-ва в поле Р, -лин от-е, тогда: 1) -образ 2) -ядро лин отобр.

V-кон мерн вект пр-во над пол Р, -лин опер-р, тогда назыв рангом и обозн , а назыв дефектом и обозн .

Пусть V-вект пр-во над пол Р и пусть f-лин опер-р. Скаляр назыв собств знач опер-ра, если в пр-ве V найд так ненул в-р х, для кот вып рав-во . При этом так в-р х назыв собст-м в-м лин опер f принадлеж собст знач . Теор: Пусть f-лин оперкон мерн вект пр-ва V, тогда спр след утв: 1) кажд собст знач лин опер f явл корнем хар-го мн-на лин опер; 2) люб кор хар-го мн-на опер f принадл полю Р и явл соб знач опер.

Опер f пр-ва V назв ортогон, если он не измен скал произвед, т.е. если им место (х,у)=(f(x),f(y)).

Лиин опер f пр-ва V назыв самосопр, если f=f*, т.е. если (f(x),y)=(x,f(y)), /

Теор: Лиин опер f кон мерн пр-ва V явл самосопр относит ортонормир пр-ва V матрица опер f явл-ся симметрической.

Теор: Для люб лин опер-ра f кон мерн пр-ва V найд так ортогон опер g и так самосопр опер h, что f=gh.

Матр А назыв сим-ой, если А=А^Т, т.е.

10. Квадратичные формы (преобразование квадратичной формы при линейном однородном преобразовании переменных; канонический вид квадратичной формы; закон инерции квадратичных форм (индекс инерции квадратичных форм); нормальный вид действительных и комплексных квадратичных форм; положительный и отрицательный индексы инерции действительных квадратичных форм; положительно определенные квадратичные формы).

Пусть Р-поле и -перем, тогда мн-н вида -назыв квадрат формой от перем над пол Р.

Сист рав-в назыв лин преобраз переем над пол Р.

Квадр форма назыв канонич, если фактич она им вид : .

Теор: (зак итер кв форм): Число ненул коэф в канонич виде кв формы не завис от выб невыр лин преоб перем, преобр-их исх кв форму в канон вид.

Индексом инерции кв формы наз-ся ненул коэф в каконич виде кв формы.

Норм видом дейсткв формы назыв такой её канонич вид, в кот все ненул коэф есть либо 1 либо -1.

Норм видом компл. Кв формы назыв такой её канонич вид, в кот люб её ненул коэф есть 1.

Теор: Число положит коэф в канонич виде действит кв формы не завис от выб невыр лин преоб-ий перем над R, преобраз-их исх кв форму в дан канонич вид.

Теор: Для люб действит кв формы сущ такое невыражд лин преобр её переем, кот преобр дан форму в норм вид.

Действит кв форма назыв положи определ, если всяк рак, когда одно из чисел - ненул. Анал опр отриц определ.

Теор: если из 2-х эквив действит форм одна из явл положи (отриц) опред, то таковой явл и другая из них.

13