9. Формула Тейлора для функций нескольких переменных. Достаточные условия локального экстремума.

Будем наделять метрическое пространство еще и структурой линейного пространства, полагая для любых и , что

Легко проверить, что для введенных подобным образом операций сложения элементов и умножения элем-ов на веществ. Числа выполняются все аксиомы линейного пространства. Если то по определению

Теорема1. Пусть функция f(x) имеет в шаре непрерывные частные производные всех порядков до m включительно. Тогда для любой точки найдется число такое, что справедливо следующее рав-во (фор-ла Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа)

а есть дифференциал k-го порядка функции f(x), вычесленный в точке , являющейся однородной формой k-го порядка относитель-но дифференциалов независимых переменных :

Док-во. Если точка , то в силу симметрии шара, и точка . Так как шар есть выпуклое множ-во, то при любом Поэтому на [-1,1] определена функция одной

переменной: Ф-ция дифф-руема на отрезке [-1,1]. Действительно применяя правило нахождения производной слоржной ф-ции, получаем Аналогично

По индукции получаем, что для k=1,..,m справедливы формулы

(**)

Применим к ф-ции формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Существует число такое, что

Полагая t=1, получаем

Подставляя в эту формулу выражение (**) для производных при t=0, получаем формулу (*). Чтд.

Следствие. Если выполнены условия теор.1, то для функции f(x) справедлива формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

Достаточное условие локального экстремума.Экстремум ф-ции многих переменных.

Пусть функция f(x) определена в области и пусть . Назовем x⁰ точкой (локального) минимума ф-ции f(x), если найдется такой шар , что для всех выполнено неравенство . Назовем точку x⁰ точкой строгого минимума ф-ции f(x), если найдется такой шар , что для всех (т.е. для всех точек шара, не совпадающих с его центром) выполнено неравенство . Аналогично оп-ределяются точки максимума. Точки максимума и минимума ф-ции наз. точками экстремума.

Теорема2. (достаточные условия экстремума). Пусть функция f(x) имеет в окрестности точки непрерывные частные производ-ные второго порядка и пусть . Тогда, если второй диф-фернециал есть положительно определенная квадратичная форма, то – точка строгого минимума f(x), если – отри-цательно определенная квадратичная форма, то – точка строгого максимума f(x), если – неопределенная квадратичная форма, то f(x) не имеет экстремума в точке .

10. Производные и дифференциалы высших порядков функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума функции многих переменных.

Пусть во всех точках открытого множества существует частная производная . Эта производная как функция x может иметь в некоторой точке производную которая называется частной производной второго порядка и обозначается одним из символов Если , то для частной производной применяется обозначение Для ф-ций 2-х переменных можно записать 4-ре производные 2-го порядка в точке (x,y): , , , . Производные и называются смешанными, и они могут быть и не равны.

Теорема о смешанных производных.

Если обе смешанные производные и определены в некоторой окрестности точки и непрерывны в этой точке, то

= .

Производные порядка выше первого определяются по индукции. Например, если f(x) – функция m переменных, то

Дифференциалы высших порядков.

Пусть функция u(x) имеет в области непрерывные частные производные первого и второго порядков. Тогда диффер-ал

есть функция 2n переменных, а именно и . Если фиксироывать переменные , то дифф-ал du(x) будет функцией x, имеющей в области G непрерывные частные производные. Тогда du(x) как ф-ция x имеет в каждой точке дифф-ал d(du). Если приращение независимых переменных оозначить через , то Выражение d(du(x)) есть илинейная форма относительно приращений . Полагая в этой билинейной форме , получим квадратичную форму, которая наз. вторым дифференц-ом функции u(x) в точке x и оозначается через d²u(x). Таким образом,

Аналогично полагая, что все частные производные третьего порядка непрерывны, можно вычислить первый дифференциал от d²u(x), после чего положить и полученную однородную форму третьего порядка назвать третьим дифференциалом функции u(x). Третий дифф-л обозначается через d³u(x). Таким образом, По индукции определяется дифф-л m-го порядка, в предположении, что все частные производные m-го порядка непрерывны в точке x. Если дифф-ал d^m-1u(x) вычислен как однородная форма порядка m-1 относительно с коэфф-ми являющимися ф-циями x, то вычисляя первый диф-ал от d^m-1u(x) и пологая затем, что при i=1,...n, получим, что d^m(x) есть однородная форма порядка m, т.е.

Необходимые условия экстремума фунуций многих переменных.

Пусть функция f(x) определена в области и пусть . Назовем x⁰ точкой (локального) минимума ф-ции f(x), если найдется такой шар , что для всех выполнено неравенство . Назовем точку x⁰ точкой строгого минимума ф-ции f(x), если найдется такой шар , что для всех (т.е. для всех точек шара, не совпадающих с его центром) выполнено неравенство .. Аналогично оп-ределяются точки максимума. Точки максимума и минимума ф-ции наз. точками экстремума.

Теорема1. Если в точке экстремума x⁰ ф-ции f(x) существует частная производная , то она равна нулю.

Док-во. Пусть, например, существует . Рассмотрим ф-цию одной переменной Так как x⁰– точка экстремума(пусть например минимума), то сущ-ет шар такой, что для всех точек этого шара. В частности для любого должно быть выполнено равенство Ф-ция одной переменной имеет в точке минимум. Поэтому , т.е. . Чтд.

Теорема2. (неоходимые условия минимума). Пусть ф-ция f(x) имеет в

окрестности точки минимума непрерывные частные производные первого и второго порядка. Тогда (Аналогично доказывается, что для ф-ции f(x), дважды дифф-мой в окрестности максимума x⁰, выполняются условия ).

Теорема3. (достаточные условия экстремума). Пусть функция f(x) имеет в окрестности точки непрерывные частные производ-ные второго порядка и пусть . Тогда, если второй диффернециал есть положительно определенная квадратичная форма, то – точка строгого минимума f(x), если – отрицательно определенная квадратичная форма, то – точка строгого максимума f(x), если – неопределенная квадратичная форма, то f(x) не имеет экстремума в точке .

11. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов (критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов; признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда).

Функциональная последовательность f₁, f₂, f₃, …,f_n, … - последовательность функций, иначе говоря отображение из N в F (множество функций).

Определение: Функциональная последовательность (f_n) сходится в точке x₀, если числовая последовательность (f_n(x₀)) сходится. Если последовательность (f_n) сходится в каждой точке xE, то говорят, что (f_n) сходится поточечно на E.

Определение: f_n f xE f_n(x)f(x) функциональный ряд U_n(x), где U_n(x) – это функции.

Определение: Функциональный ряд называется сходящимся в точке x₀E, если числовой ряд U_n(x₀) сходится. Функциональный ряд называется поточечно сходящимся на E, если для  фиксированного xE числовой ряд U_n(x) сходится.

Определение: Последовательность f_n равномерно сходится к f  >0 n_ : n > n_ и xE f_n(x)-f(x)<.

Обозначение f_n(x) f(x). Иначе говоря n_ зависит только от  и не зависит от x. Определение равеномерной сходимости функциональной последовательности можно переписать в виде: >0 n_ : n > n_ f_n(x)-f(x). Иначе говоря f_n(x) f(x)  f_n(x)-f(x)=0 и без предположения об ограниченности всех функций f_n(x) и функции f(x).

Определение: Последовательность f_n называется фундаментальной, если >0 n_ : n > n_ и  m > n_ имеем < или можно записать следующим образом :

>0 n_ : n > n_ и p – натурального <.

Теорема (о полноте): Пространство ограниченных функций с равномерной метрикой является полным или иначе говоря, в нем любая фундаментальная последовательность сходится.

Следствие (критерий Коши): Для того, чтобы последовательность f_n равномерно сходилась на Е, необходимо и достаточно, чтобы f_n была фундаментальна.

Доказательство (теоремы о полноте): Пусть последовательность (f_n) – фундаментальная на Е. Зафиксируем произвольное xE. Получим числовую последовательность (f_n). Эта числовая последовательность фундаментальна и  она сходится. Т.о. задана функция f. При этом f_n f. Из определения фундаментальности получаем:

>0 n_ : n > n_ и p – натурального <. f_n+p(x)-f_n(x) xE f_n+p(x)-f_n(x)  xE f_n+p(x)-f_n(x), т.е. xE f_n(x)-f(x). Получаем >0 n_ : n > n_ xE f_n(x)-f(x). Это означает, что f_n(x) f(x). Ч.т.д.

Пусть U_n(x) сходится поточечно на Е. S_n(x) = U₁(x)+…+ U_n(x) – n-ая частичная сумма. Простейший критерий равномерной сходимости: S_n S 

S_n(x)-S(x)=0  S_n(x)-( S_n(x)+_nS(x))=0  _nS(x)=0  _nS 0. Для равномерной сходимости необходимо и достаточно, чтобы последовательность остатков равномерно сходилась к нулю. Необходимое условие равномерной сходимости: U_n(x)  U_n(x) 0. Достаточное условие равномерной сходимости (признак Вейерштрасса): Дано: 1). U_n(x) –

функциональный ряд на множестве Е; 2). a_n – числовой сходящийся ряд; 3). xE n U_n(x) a_n.Тогда данный функциональный ряд U_n(x) сходится равномерно на Е.

Доказательство: Абсолютная сходимость очевидна. Рассмотрим = S_n(x)-S(x)= _nS(x) a_n+1+a_n+2+ … = _na – остаток числового ряда после n-го члена. Ч.т.д.

Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда: U_n(x)  >0 n_ : n > n_ и p – натурального xE S_n+p(x)- S_n(x), U_n+1(x)+U_n+2(x)+…+U_n+p(x).