- •Математический анализ
- •Числовые ряды (сходимость числовых рядов; сходимость рядов с неотрицательными членами, признаки их сходимости; абсолютно сходящиеся ряды, их свойства; условно сходящиеся ряды).
- •Производная функции в точке. Дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Формула Тейлора.
- •Интеграл Римана (определение, существование, свойства; дифференцируемость интеграла Римана по верхнему пределу). Существование первообразной у непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
- •Формула Тейлора для функций нескольких переменных. Достаточные условия локального экстремума.
- •Производные и дифференциалы высших порядков функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума функции многих переменных.
- •Двойной интеграл Римана (сведение двойного интеграла к повторному; замена переменных в двойном интеграле; кратные интегралы).
- •Криволинейные и поверхностные интегралы (формула Грина; условия независимости криволинейного интеграла от формы пути).
- •Криволинейные и поверхностные интегралы. Формула Остроградского. Формула Стокса.
Двойной интеграл Римана (сведение двойного интеграла к повторному; замена переменных в двойном интеграле; кратные интегралы).
Опр:Пусть Е – множество точек из Rn измеримое по Жордану, тогда его мерой называется mesE V(S).
Пусть А Rn. Опр: Диаметром d(A)= называется точная верхняя грань расстояния между двумя точками из А.
Пусть Е измеримое подмножество Rn, f – функция, заданная на Е. Разбиением множества Е называется система множеств {Ei} , такие что: 1.i Ei измеримы; 2.i,j mes(Ei Ej)=0; 3. Ei=E. Мелкостью () разбиения называется наибольший из диаметров Ei. ()= d(Ei ). Разбиением с отмеченными точками называется разбиение = {Ei} и система точек {i} i i Ei таких, что i-тая точка берется в i-ом кусочке. Интегральной суммой для функции f соответствующей данному разбиению отмеченной точки {,} называется = .
Опр: Интегралом функции f по множеству Е называется предел интегральных сумм при мелкости разбиения 0.
Опр: Число I называется пределом интегральных сумм при мелкости разбиения 0, если >0 >0: : ()< и {i} <.
Теорема (о сведении двойного интеграла к повторному в случае прямоугольной области): Пусть: 1. f(x,y) – интегрируема на прямоугольнике ={(x,y): axb, cyd} ( т.е.
); 2. для х [a,b] ; 3. для y [c,d] ; тогда оба повторных интеграла и они равны двойному. . Иначе говоря, существование двойного и обоих простых следует из существования обоих повторных и равенства их двойному и между собой.
Замена переменных в двойном интеграле: . Нужно сделать замену переменных. Т.к. их две, то нужно рассмотреть x=x(u,v) и y=y(u,v), тогда рассмотрим . Интеграл берется по множеству, по которому должна изменятся точка (u,v), так чтобы точка (x(u,v),y(u,v)) пробегала данное множество.
Криволинейные и поверхностные интегралы (формула Грина; условия независимости криволинейного интеграла от формы пути).
Криволинейные интегралы первого рода.
Пусть - спрямляемая кривая (т.е. которая имеет длину), (x(s),y(s),z(s)), где s – переменная длина дуги, естественный параметр. r=r(s) , где r – трехмерный вектор и имеет координаты (x(s),y(s),z(s)). Функция r=r(s) называется представление кривой. В данном случае кривая задана с помощью натурального естественного параметра. Важно и направление на кривой. Направление обычно берется соответственно возрастанию параметра. Рассмотрим произвольное разбиение отрезка [0,s] точками s0=0, s1,…,
si =s. В каждом из частичных отрезков отметим точку i, найдем соответствующую точку r(i) на кривой . Отметим также точки r(si-1) и r(si). Получим разбиение кривой с отмеченными точками. Пусть f(x,y,z) – функция, заданная на кривой . Дополнительно предположим, что эта функция непрерывна на кривой , не обязательное, но обычное предположение. Рассмотрим , которая называется интегральной суммой для криволинейного интеграла 1-го рода, соответствующей разбиению и выбору отмеченных точек i.
Определение: Криволинейный интеграл 1-го рода называется предел интегральных сумм при мелкости разбиения, стремящейся к нулю (если он , то тогда функцию называют интегрируемой, если не существует, то – неинтегрируемой).
Криволинейные интегралы второго рода.
Дано: кривая , - гладкая, т.е. x= , y= , z= , где atb, - непрерывно дифференцированы и заданы 3 функции 3-х переменных:
P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) – заданы на кривой и непрерывны на ней.
Определение: Криволинейный интеграл 2-го рода от отображения F(P,Q,R) называется .
Обозначение: .
Теорема (о формуле Грина): Пусть P(x,y) и Q(x,y) – непрерывны вместе со своими частными производными в замкнутой области Д, ограниченной одним или несколькими кусочно-гладкими контурами. Тогда , где Д – наша область, - граница области, где на каждом из контуров, образующих границу, берется положительное направление и криволинейный интеграл, стоящий слева, есть сумма интегралов по этим контурам.
Теорема ( условие независимости криволинейного интеграла от формы пути): Пусть P(x,y), Q(x,y) – непрерывны в области Д. Тогда следующие условия эквивалентны:
интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в области Д, равен нулю.
для любых точек А и В Д не зависит от выбора кривой, соединяющей точки А и В.
выражение Pdx+Qdy является полным дифференциалом, т.е. такая функция U(x,y) (она называется потенциал), такая что Pdx+Qdy= , иначе говоря P= , Q= . В этом случае = U(x(b),y(b))-U(x(a),y(a)).
Поверхностный интеграл 1-го рода.
Пусть Ф – двусторонняя кусочно-гладкая поверхность, ограниченная кусочно-гладким контуром М(x,y,z). Пусть f - функция, заданная в точках поверхности Ф.
1. Разобьем Ф на части Ф1, …, Фn ( ) – кусочно-гладкими кривыми.
2. В каждой части произвольным образом выберем точку Мi(xi ,yi ,zi).
3. Значение функции f умножим на площадь кусочка Фi : f(xi ,yi ,zi)S(Фi).
4. Рассмотрим сумму, полученную в произведении f(xi ,yi ,zi)S(Фi) (она называется интегральной).
5. Предел этих интегральных сумм при мелкости разбиения 0 (если он ) называется поверхностным интегралом 1-го рода функции f по поверхности Ф и обозначается .
Поверхностный интеграл 2-го рода.
Пусть Ф двусторонняя гладкая поверхность, ограниченная кусочно - гладким контуром. Выберем сторону поверхности (т. е. выбрать вектор или - ).
Пусть f(x,y,z) – функция, заданная в точках этой поверхности Ф. Рассмотрим разбиение поверхности Ф. В каждом Фi выберем произвольную точку Мi( ) , значение функции в этой точке f(Мi) умножим на cos S(Фi), т.е. f(Мi)cos S(Фi), где cos - косинус угла, образованного выбранным вектором нормали в точке Мi и положительным направлением оси OZ. Рассмотрим сумму , она называется интегральной суммой для поверхностного интеграла 2-го рода. Если предел интегральных сумм при мелкости разбиения стремится к 0, , то функция называется интегрируемой, а этот предел интегралом 2-го рода, который обозначается . Аналогично определяются интегралы: и .
Итак, =
=
= .