1.5Интерполяция табличных зависимостей

Часто приходится рассматривать функции, заданные в виде таблицы. При этом могут потребоваться значения этих функций при промежуточных, не входящих в таблицу, значениях независимой переменной (задача интерполяции) или при значениях переменной, лежащих за пределами таблицы (задача экстраполяции).

Самый простой способ - линейная интерполяция - состоит в приближенной замене изучаемой функции на линейную функцию, причем так, чтобы обе функции совпадали при (рис. 1.9).

Формула линейной интерполяции: . Графически это означает простое соединение узловых точек отрезками прямых.

Большую точность дает квадратичная интерполяция, при которой изучаемая функция приближенно заменяется на квадратичную функцию, причем так, чтобы обе функции совпадали при и при .

Рис. 1.9 Линейная и сплайн – интерполяция

Формула Ньютона для квадратичной интерполяции (рис. 1.10.а):

.

Данная формула не симметрична - в ней использованы значения , тогда как x расположен между .

Если обратить направление оси x и подобным же образом использовать значения , то будет получена также не симметричная (но в другую сторону) формула (рис. 1.10.б):

Взяв среднее арифметическое правых частей данных формул, получим симметричную формулу Бесселя, обладающую высокой точностью:

При сплайн-интерполяции (рис.1.9) исходная функция заменяется отрезками кубических парабол, проходящих через три смежные узловые точки. Коэффициенты парабол рассчитываются так, чтобы непрерывными были первая и вторая производные.

Линия, которую описывают сплайн-функции, напоминает по форме гибкую линейку, закрепленную в узловых точках.

1.6Аппроксимация.

Рис. 1.10 Параболическая интерполяция.

Широко распространенной задачей обработки данных является представление их совокупности некоторой функцией f(x). Задача аппроксимации заключается в получении параметров этой функции, таких, чтобы функция приближала «облако» исходных точек с наименьшей среднеквадратичной погрешностью. В основе аппроксимации обычно лежит метод наименьших квадратов.

1.6.1Метод наименьших квадратов для многочленов

Многочлен - выражение вида: у=а₀+а₁×х+а₂×х²+...+а_n×xⁿ

В каждой из n точек, для которых известны значения x_i и y_i, найдем сумму квадратов отклонений вычисленных и измеренных значений

.

Для того чтобы отыскать наилучшее приближение, необходимо найти минимум этой функции для следующих переменных: а_о, а₁, а₂, ..., а_n.

Для этого продифференцируем её по каждой из переменных и приравняем производную нулю.

После несложных преобразований получим систему линейных уравнений, решив эту систему, можно найти неизвестные коэффициенты многочлена (полинома) а_о, а₁, а₂, ..., а_n.

Коэффициенты при неизвестных				Свободный
an	...	a2	ao	Член
	...
	...
...	...	....	.....	....
	...		N