1.6.2 Полиномиальная аппроксимация

Функция y(x) может быть представлена полиномом произвольной степени (рис. 1.11). На практике не рекомендуется использовать степень аппроксимирующего полинома выше 4-6, поскольку погрешности реализации при этом сильно возрастают.

1.6.3Линейная аппроксимация

Рис. 1.11 Полиномиальная аппроксимация

Рис. 1.12 Линейная аппроксимация

При линейной аппроксимации функция y(x) описывает отрезок прямой и имеет вид y(x) = a + bx (рис. 1.12).

1.7Сглаживание данных

Данные большинства экспериментов имеют случайные составляющие, поэтому часто возникает необходимость статистического сглаживания данных.

При этом вычисляется множество Z=z₁,z₂,...z_n сглаженных значений функции f(x,y), заданной множествами значений аргумента X=x₁,x₂,...x_n и Y=y₁,y₂,...y_n соответствующих значений функции.

Сглаживание функции, заданной таблицей значений в неравноотстоящих точках, с помощью многочлена первой степени, построенного по k (не менее трех точек) последовательным точкам методом наименьших квадратов (рис. 1.13).

Рис. 1.13 Сглаживание данных

При k=3 - по каждым трем последовательным точкам (x_j-2,y_j-2),(x_j-1,y_j-1),(x_j,y_j) для j=3,...n строится последовательность многочленов первой степени W_j(x)=m_jx+b_j, дающих в этих точках наименьшее отклонение от заданных в смысле наименьших квадратов.

Определение коэффициентов m_j и b_j многочлена W_j(x) производится методом наименьших квадратов.

Искомые сглаженные значения z_j = W_j(x) = m_jx + b_j вычисляются по формуле:

1.8Предсказание (экстраполяция функции)

При экстраполяции по ряду заданных точек рассчитывается некоторое число N последующих точек.

На рисунке 1.14 сплошной линией показан график функции, описывающий положение заданных точек, пунктирной - предсказание (экстраполяция графика).

1.9 Рис. 1.14 Экстраполяция функции. Численное дифференцирование

При вычислении производной функции, заданной таблицей, наилучший способ найти производную по двум значениям функции - это взять значения справа и слева на равном расстоянии от того значения x, для которого мы хотим подсчитать величину производной:

.

Значения можно найти интерполяцией.

1.10Вычисление определенного интеграла

Рис. 1.15 Метод трапеций

Простой и вместе с тем хороший способ состоит в следующем: участок интегрирования разбивается на несколько равных малых интервалов. Интеграл по каждому малому интервалу приближенно считаем равным произведению длины интервала на среднее значение подынтегральной функции в его начале и конце. Этот способ называется методом трапеций, потому что получается такой результат, как если бы в каждом малом интервале дуга графика заменяется ее хордой, а площадь под этой дугой (величина интеграла) заменяется площадью получившейся трапеции с вертикальными основаниями (рис. 1.15).

Соответствующая формула имеет вид:

,

где для краткости обозначено .

Еще более эффективную формулу можно получить, если кривую на малом интервале заменить параболой, т.е. графиком квадратичной зависимости. Разделим участок интегрирования от x = a до x = b на четное число равных интервалов. Границы интервалов: . Длину интервала обозначим h, так что .

,

где .

Эта формула называется формулой Симпсона.

Преимущества формулы Симпсона по сравнению с формулой трапеций особенно сказывается при увеличении числа n интервалов разбиения. Можно показать, что при этом ошибка формулы трапеций убывает обратно пропорционально n², а ошибка формулы Симпсона - обратно пропорционально n⁴.