Триггер

Задача. В электронной схеме на вход подаются значения и . Что будет на выходе?

Значения на выходе не зависят от входных значений , они зависят от того, что было на выходе ранее. Если было значение , то оно и останется, а если , то и будет . Если же на левый вход подадим , то на выходе получим независимо от того, что будет на входе справа. Если подать на правый вход , то на выходе будет .

Триггер — это элемент памяти компьютера. Процесс запоминания — подача на правый вход . хранится в памяти — на обоих входах — . Очистка памяти — подача на левый вход.

12.--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Достаточные условия локального экстремума

В предыдущих примерах мы видели, что хотя необходимое условие не гарантировало наличие экстремума в критической точке, мы смогли исследовать поведение функции в окрестности этой точки и выяснить, имеется ли в ней экстремум и если да, то какого рода. Однако для выяснения этого нам пришлось иной раз прибегать к искусственным преобразованиям функции, которые во общем случае могут быть не очевидны или затруднительны. В данном разделе мы рассмотрим несколько общих теорем, позволяющих исследовать поведение функции в критической точке.

        Теорема 7.5   Пусть  -- критическая точка функции . Если функция не убывает в некоторой левой окрестности точки и не возрастает в некоторой её правой окрестности , то точка  -- точка локального максимума.

Если же функция не возрастает в некоторой левой окрестности и не убывает в некоторой правой окрестности , то точка  -- точка локального минимума.

        Доказательство.     Если не убывает в , то при всех , поскольку из непрерывности . Точно так же, при всех . Выберем из чисел и наименьшее: и рассмотрим симметричную окрестность . При , очевидно, , то есть  -- точка локального максимума.

Вторая половина утверждения теоремы сводится к первой, если положить и заметить, что функция не убывает в и не возрастает в ; локальный максимум функции соответствует локальному минимуму функции  .     

        Замечание 7.4   Найденное достаточное условие локального экстремума гарантирует наличие экстремума в точке . Однако оно не является необходимым: можно найти такую функцию , которая имеет экстремум (например, минимум) в некоторой точке , однако не монотонна ни в какой левой окрестности и ни в какой правой окрестности этой точки. Примером может служить функция

График этой функции зажат между двумя параболами и и в окрестности точки 0 имеет бесконечно много промежутков монотонности, разделённых стационарными точками, так что не монотонна ни на каком интервале вида или . В точке 0 функция непрерывна (по теореме "о двух милиционерах") и имеет минимум, так как при всех .

Заметим кстати, что производная этой функции равна

Эта производная имеет в точке разрыв второго рода.     

        Теорема 7.6   Пусть  -- критическая точка функции , и у этой функции существует производная в некоторой проколотой окрестности . Если при этом в левой окрестности имеет место неравенство , а в правой окрестности  -- неравенство , то точка  -- точка локального максимума; если же в левой окрестности выполнено неравенство , а в правой окрестности -- неравенство , то точка  -- точка локального минимума. Наконец, если производная в левой и в правой окрестности имеет один и тот же знак, то точка не является точкой локального экстремума.

        Доказательство.     Доказательство первых двух утверждений теоремы сразу же следует из предыдущей теоремы и теоремы 7.2 о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции: из неравенства следует неубывание функции , а из неравенства  -- её невозрастание. Последнее утверждение теоремы также очевидно.     

Рис.7.25.Связь смены знака производной с локальными экстремумами

Доказанную теорему можно сформулировать следующим образом:

если производная меняет знак с на при переходе через критическую точку , то в этой точке -- локальный максимум функции ; если знак производной меняется с на , то в точке  -- локальный минимум; если же знак производной при переходе через не изменяется, то локального экстремума в точке функция не имеет.

Следующая теорема позволяет обойтись для обнаружения экстремума исследованием функции только в точке (а не в её окрестности, как предыдущие теоремы), но зато требует привлечения второй производной.

        Теорема 7.7   Пусть  -- стационарная точка функции , и в этой точке существует вторая производная , причём . Тогда при точка есть точка локального максимума, а при  -- локального минимума.

        Доказательство.     Поскольку , то по определению производной

Пусть . Тогда из существования предела следует, что для любого из некоторой достаточно малой проколотой окрестности точки выполняется то же неравенство для допредельного выражения, то есть

при . Поскольку, по предположению теоремы,  -- стационарная точка, то , откуда , то есть имеет знак, противоположный знаку : при и при . Остаётся лишь применить теперь предыдущую теорему, из которой следует, что  -- точка локального максимума.

Доказательство для случая совершенно аналогично.     

рафик функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале. График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале. На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c). Примеры. Полуокружность выпукла на [–1; 1]. Парабола y = x^2 вогнута на интервале (-∞; +∞). График функции в одних интервалах может быть выпуклым, а в других вогнутым. Так график функции y = sin x на [0,2; π], выпуклый в интервале (0; π) и вогнутый в (π; 2π). Рассмотрим достаточный признак, позволяющий установить, будет ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым. Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый. Доказательство. Предположим для определенности, что f''(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M0 с абсциссой x0  (a; b) и проведем через точку M0 касательную. Ее уравнение . Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении x ордината кривой y = f(x) будет меньше ордината касательной.

Итак, уравнение кривой имеет вид y = f(x). Обозначим ординату касательной, соответствующую абсциссе x. Тогда . Следовательно, разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении x будет .

Разность f(x) – f(x₀) преобразуем по теореме Лагранжа , где c между x и x₀.

Таким образом,

.

К выражению, стоящему в квадратных скобках снова применим теорему Лагранжа: , где c₁ между c₀ и x₀. По условию теоремы f ''(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

1. Предположим, что x>x₀. Тогда x₀<c₁<c<x, следовательно, (x – x₀) > 0 и (c – x₀) > 0. Поэтому .

2. Пусть x<x₀, следовательно, x < c < c₁ < x₀ и (x – x₀) < 0, (c – x₀) < 0. Поэтому вновь .

Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях x и x₀  (a; b), а это значит, что кривая выпукла. Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Примеры.

1. Установить интервалы выпуклости и вогнутости кривой y = 2 – x².

Найдем y '' и определим, где вторая производная положительна и где отрицательна. y' = –2x, y'' = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

2. y = e^x. Так как y'' = e^x > 0 при любых x, то кривая всюду вогнута.

3. y = x³. Так как y'' = 6x, то y'' < 0 при x < 0 и y'' > 0 при x > 0. Следовательно, при x < 0 кривая выпукла, а при x > 0 вогнута.

Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны – над нею.

Определим достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба.

Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f ''(x₀) = 0 или f ''(x₀) не существует и при переходе через значение x = x₀ производная f ''(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x₀ есть точка перегиба.

Доказательство. Пусть f ''(x) < 0 при x < x₀ и f ''(x) > 0 при x > x₀. Тогда при x < x₀ кривая выпукла, а при x > x₀ – вогнута. Следовательно, точка A, лежащая на кривой, с абсциссой x₀ есть точка перегиба. Аналогично можно рассматривать второй случай, когда f ''(x) > 0 при x < x₀ и f ''(x) < 0 при x > x₀.

Таким образом, точки перегиба следует искать только среди таких точек, где вторая производная обращается в нуль или не существует.

13.--------------------------------------------------------------------------------------------------------------