3.4.2. Свойства определенного интеграла

Доопределим понятие интеграла при a ≥ b следующими равенствами:

Сформулируем некоторые свойства определенного интеграла в предположении, что подынтегральная функция ограничена на отрезке, по которому она интегрируется.

• Если функция интегрируема на [a; b], то она интегрируема на любом отрезке

• Для любых a, b и c

  

• Интеграл обладает свойством линейности: для любых функций f (x) и g (x) и любой постоянной A

  

• 

• Если f (x) и g (x) интегрируемы на [a; b], то f (x) · g (x) также интегрируема на этом отрезке.

• Если f (x) – периодическая функция с периодом T, то для любого a

Модель 3.10. Свойства определенного интеграла

Для определенных интегралов верны также следующие оценки (предполагается, что функции f и g интегрируемы на [a; b]).

• Если f (x) ≥ g (x), то

  

• В частности, если f (x) ≥ 0, то

  

• Если f (x) ≥ 0 для любого  и существует такое, что  причем f (x) непрерывна в  то

• |f (x)| интегрируема на [a; b], причем

  

• Если на отрезке [a; b]  m ≤ f (x) ≤ M, то

Рисунок 3.4.2.1.

Численное вычисление определенного интеграла при помощи формулы трапеций

Для вычисления определенных интегралов на компьютере нередко используют приближенную формулу трапеций:

Ее смысл состоит в том, что криволинейные трапеции заменяются обычными, площадь каждой из которых равна

Формула Ньютона – Лейбница

Е сли функция f (x) интегрируема на [a; b], то для любого существует интеграл

который называется интегралом с переменным верхним пределом.

Если функция f интегрируема на [a; b], то функция F (x) непрерывна на этом отрезке.

Если функция f интегрируема на [a; b] и непрерывна в то функция F (x) дифференцируема в  причем

Если функция f непрерывна на [a; b], то на этом отрезке она имеет первообразную F вида

где C – постоянная. Всякая первообразная функции f на отрезке [a; b] удовлетворяет этой формуле.

 

Одним из основных результатов математического анализа является теорема Ньютона – Лейбница:

П усть функция f (x) непрерывна на [a; b], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда

Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F (b) – F (a).

Пусть f (x) непрерывна на [a; b], g (t) имеет непрерывную производную на [α; β], Тогда если a = g (α), b = g (β), то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:

Если функции u (x) и v (x) имеют на [a; b] непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям: