2.6. Аксиомы теории вероятности.

1. Вероятность любого события больше либо равна нулю.

2. Вероятность достоверного события равна единице.

3. Если события А и В несовместны, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей.

Следствия

1. если события попарно несовместны, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей.

2. если события образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице.

3. вероятность противоположного события в сумме с исходным событием равна единице.

4. вероятность невозможного события равна нулю.

5. вероятность любого события не превосходит единицы .

6. если событие В следует из события А, то вероятность события А меньше или равна вероятности события В.

7. Вероятность суммы событий равна сумме вероятностей минус вероятность их произведения.

3.1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Рассмотрим некоторую функцию у =f(х), заданную в ин­тервале (а, b), и точку x, принадлежащую ему. Зададим в этой точке приращение ∆х, такое, что х+∆х (а, b). В этом случае функция получает приращение ∆f(x) = f(x +∆x) – f(x).

Производной функции f(x) в точке х называют предел отношения приращения функции ∆f(x) к приращению аргумента ∆х, когда ∆х стремится к нулю:

.

Рассмотрим геометрический смысл производной. Пусть дана некоторая функция f(х). Значение производной этой функции в точке х₀ равно угловому коэффициенту (касательной, проведенной к графику функции через точку (х₀, y₀), где y₀=f(x₀):

Уравнение касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в точке М(х₀, у₀), в общем виде записывается следующим образом: .

Физический смысл производной заключается в следующем: пусть зависимость пути, пройденного материальной точкой, от времени описывается функцией s =f(t). Производная этой функции в точке t₀ равна значению мгновенной скорости дви­жения материальной точки в данный момент времени:

.

Экономический смысл производной рассмотрим на примере производственной функции. Производственной называют функцию, устанавливающую зависимость объема выпускае­мой продукции Q от величины затрат х: Q =f(x).

Производная данной функции показывает, насколько из­менится объем выпуска продукции при увеличении затрат на единицу, т.е. эффективность затрат. Таким образом, произ­водная характеризует эффективность определенного эконо­мического фактора.

Перечислим правила дифференцирования:

1. С' = 0;

2. (u ± v)' = u' + v';

3. (uv)' = u' v+v'u;

4. (Cf)' = Cf ';

5. .

Производная сложной функции вида y = f(g(x)) равна y' = f'(g(x))g'(x).

Приведем таблицу производных основных элементарных функций:

1. (kx + b)' = k'

2. (хⁿ)'= пх^n-1;

3. (х²)'=2х;

4. ;

5. sin'x = cosx;

6. cos'x = -sinx;

Дифференциалом функции у = f(x) называют главную линей­ную относительно ∆х часть приращения ∆у. Дифференциал функции обозначают dy или df(x). Как следует из определения, dy = А∆х.

Для выяснения геометрического смысла дифференциала рассмотрим график функции у(х). Приращение функции ∆у = у₁ - у₀ можно представить в виде у = АС=АВ + ВС. Найдем катет ВС ∆МВС:

ВС = MС · tga = (х₁ - x₀) tgα = ∆xy'.

Тогда ∆у = у'∆х + АВ. Отсюда следует, что приращение у со­стоит из двух частей, причем главная линейно зависимая отно­сительно ∆х часть приращения имеет вид у'∆х, т.е. dy = y'∆x. Для функции у = х последняя формула примет вид dx = x'∆x, а так как х' = 1, имеем dx = ∆x.C учетом этого факта выраже­ние для дифференциала функции примет вид dy = y'dx.

При достаточно малых приращениях ∆y = dy. Это соотношение можно использовать для приближенных вычислений качений функции. Учитывая, что ∆у = у-у₀ и dx = ∆х, получаем формулу для приближенных вычислений:

у = у₀ + у'∆х.

Производной второго порядка или второй производной у" называют производную от первой производной: у" = (y')'.