3.2. Разрыв функции.

С понятием предела функ­ции тесно связано другое важное понятие математического анализа — понятие непрерывности функции.

Рассмотрим функцию f(x), определенную на некотором промежут­ке. Пусть х₀ — некоторая точка этого промежутка, в которой функция имеет значение f(x₀). В определении предела функции f(х) при х, стремящемся к x₀, отмечалось, что число х₀ может и не принадлежать области определения функции f(x), а если число х₀ и принад­лежит области определения, значение функции в этой точке при изу­чении предела нас не интересовало.

Однако большой интерес представляет именно случай, когда

(1)

Говорят, что функция / (х) непрерывна в точке х₀, если выполняется равенство (1); если же равенство (I) не выполняется, то говорят, что в точке х₀ функция терпит разрыв.

Таким образом, выяснение вопроса о непрерывности функции f(х) в какой-либо точке х₀, принадлежащей области определения функции, сводится к вычислению предела функции в точке х₀ и проверке справед­ливости равенства (1).

Если функция f(х) определена на промежутке (а, b) и непрерывна в каждой точке промежутка, то говоря, что функция непрерывна на этом промежутке.

Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций.

1) Если функции f (х) и g (х) определены на промежутке (а,b) и непрерывны в точке х₀ (а,b), то в этой точке функции

также непрерывны (последняя функция непрерывна при условии, что g (x₀) ≠ 0).

2) Если функция у=f (х) непрерывна в точке x₀, а функция g(y) непрерывна в точке у₀ = f (х₀), то и сложная функция g (f(х)) непре­рывна в точке х₀.

3 ) Первая теорема Больцано — Коши. Если функция f(х) задана на промежутке [а;b] и непрерывна в промежутке (a; b) и если на концах промежутка значения функции f (а) и f (b) имеют разные знаки, то между а и b существует (по крайней мере одно) такое значение х₀, прикотором f(х) обращается в нуль:

Теорема Больцано—Коши находит весьма неожиданное примене­ние при решении алгебраических уравнений, а именно, она позволяет доказать, что любое алгебраическое уравнение нечетной степени с дей­ствительными коэффициентами

имеет по крайней мере один действительный корень.

4 ) Первая теорема Beйерштрасса. Если функция f (х) определена и непрерывна на промежутке [а, b], то она ограничена па этом промежутке, т. е. существуют такие два числа т и М, что для всех х [a,b] имеет место неравенство

О дносторонняя непрерывность. Классификация разрывов функций. Пусть функция f (x) определена на промежутке (а; x₀]. Говорят, что функция f (x) непрерывна в точке x₀ слева, если

(2)

А налогично, функция f (х), определенная на промежутке [х₀; b), непрерывна в точке x₀ справа, если

(3)

Если равенство (2) не выполнятся, то говорят, что функция f(х) разрывна в точке х₀ слева, если не выполняется равенство (3), то функция разрывна в точке х₀ справа.

Если функция f (x) определена на промежутке (а; b) и точка х₀ (а,b), то для непрерывности функции f (х) в точке x₀ необходимо и достаточно, чтобы функция f (х) была непрерывна слева и справа в точке x₀.

Различают следующие виды разрывов функции в точке: разрывы первого рода и разрывы второго рода.

П еречень разрывов первого рода приведен в табл, 7, Если хотя бы один из односторонних пределов в точке x₀ не сущест­вует или равен +∞ (—∞), то говорят, что функция f(х) имеет в точке х₀ разрыв второго рода (точка х₀ может как принадлежать, так и не принадлежать области определения функции). Примером функции, имеющей разрыв второго рода, может служить функция