§2. Математическая формализация задачи в декартовых координатах
Рассмотрим задачу об определении абсолютной скорости и ускорения для случая сложного движения с формальной, математической точки зрения. Для простоты вначале разберём задачу , когда движение происходит в одной плоскости.
Имеем
две среды, неподвижную
и
подвижную
,
и точку
,
которая находится в подвижной среде и
движется в ней. Задача состоит в том,
чтобы найти движение т.
(т.
координаты,
скорость и ускорение) в неподвижной
среде, если известно как движется среда
в
среде
,
и как движется т.
в
среде
.
Введём для каждой среды свою прямоугольную
систему координат (Фиг.4). Обозначим
интересующие нас координаты т.
в
неподвижной среде
,а
известные координаты т.
в
подвижной среде
.
Фиг.4.
Известные из аналитической геометрии формулы преобразования координат устанавливают зависимость между координатами точки в двух системах:
(1.2)
(1.3)
С течением времени координаты т. изменяются. Определим их скорость изменения. Известно, что математическим представлением скорости является производная по времени от функции, определяющей координату. Продифференцируем функции (1.2) и (1.3).
(1.4)
(1.5)
Здесь
буквы с точками означают производные
соответствующих параметров по времени.
В формуле (1.4) выражение
представляет проекцию вектора скорости
т.
в
подвижной среде
на ось
неподвижной
среды. Это следует из геометрического
построения на Фиг. 5.
Фиг. 5.
Оставшиеся
члены образуют выражение
,
в котором
представляет
проекцию на ось
вектора скорости начала подвижной
системы координат
,
а
представляет
проекцию на ось
вектора скорости той точки подвижной
среды
,
с которой в данный момент совпадает
т.
,
вызванной вращением подвижной среды с
угловой скоростью
вокруг начала координат. Это следует
из построения на Фиг. 6.
Фиг. 6.
Таким образом, структура выражения (1.4) позволяет считать, что скорость т. в неподвижной среде складывается из двух элементов: скорости т. относительно подвижной среды и скорости той точки подвижной среды , с которой в данный момент совпадает т. , вызванной движением среды относительно . Эти два элемента принято называть относительной скоростью и переносной скоростью.
Итак,
(1.6)
Математическим представлением ускорения является производная от функции скорость по времени. Продифференцируем функции (1.4) и (1.5):
(1.7)
(1.8)
В
формуле (1.7) выражение
получено путем дифференцирования
выражения, представляющего проекцию
на ось
вектора относительной скорости
при условии
и, следовательно, по аналогии может быть
названо проекцией относительного
ускорения. Выражение
получено
путем дифференцирования по времени
проекции на ось
переносной скорости при условии
и, следовательно, может быть названо
проекцией переносного ускорения.
Оставшиеся числа правой части формулы
(1.7) группируются в выражение
и представляют проекцию
на ось
еще какого-то вектора. Этот вектор
принято называть добавочным, поворотным
или кориолисовым ускорением. Члены,
образующие кориолисово ускорение,
возникают, во-первых, в связи с
дифференцированием проекции вектора
относительно скорости при условии
,
но переменном
,
во-вторых, при дифференцировании проекции
вектора переносной скорости при условии
,
по переменных
и
.
Выражение (1.7) и (1.8) в аналитической форме представляют так называемую кинематическую теорему Кориолиса, утверждающую, что абсолютное ускорение точки в сложном движении складывается геометрически из ускорения переносного, относительного и кориолисова.
(1.9)
В
выражении
множитель
можно рассматривать как проекцию на
ось
вектора относительной скорости
,
повернутою на
в сторону вращения подвижной среды
.
Это следует из построения на Фиг.7.
Фиг.7.
Аналогичные
утверждения можно сделать для проекции
добавочного ускорения на ось
.
Отсюда следует, что абсолютная величина
кориолисова ускорения определяется по
формуле:
(1.10)
а его направление совпадает с направлением вектора относительной скорости, повернутого на в сторону вращения подвижной среды.
Заметим следующие свойства кориолисова ускорения:
1.Кориолисово
ускорение отсутствует, если подвижная
среда не вращается, а движется только
поступательно, поскольку в этом случае
;
2.Кориолисово
ускорение отсутствует, если тело покоится
в подвижной среде, т.к. в этом случае
;