18. Элементы математической логики. Конъюнкция, дизъюнкция,отрицание

Элементы математической логики

Принципы поиска и обработки информации в ЭВМ основываются на законах математической логики, поскольку компьютеры — это автоматические устройства, принципы работы которых базируются на элементарных законах двоичной логики.

Вычислительные машины всех поколений состояли и состоят из логических элементов и элементов памяти, принимающих два зна­чения (бита) 0 и 1. Вся обработка информации в ЭВМ всех ее логи­ческих блоков, логических схем и устройств опиралась и будет опи­раться на законы и принципы математической логики.

Логика — это древнейшая наука, изучающая правильность сужде­ний, рассуждений и доказательств. Примеры суждений: «снег белый», «2x2 = 5», «Земля круглая», «информатика — лженаука», «Интернет — международная сеть».

Математическая логика — это математическая дисциплина, изу­чающая технику доказательств. Компьютеры, как и математики, требуют точности и строгости в определениях, описаниях, доказа­тельствах и обоснованиях, чем они отличаются от обычных нормаль­ных людей. И на них нельзя обижаться.

Отличие вычислительных операций и математических суждений от обычных человеческих действий и высказываний состоит в следу­ющем. Вычислительные операции и математические суждения всегда предполагают однозначную интерпретацию, в то время как действия и высказывания людей зачастую допускают многозначную художественную трактовку.

Суждения и в математике, и на практике могут быть истинными или ложными. На практике истинность или ложность суждений проверяется их соответствием действительности, а в математике — опровержениями либо доказательством.

Пример истинного суждения — «снег белый». Пример ложного суждения — «генетика — лженаука». Пример суждений, истинность которых до сих пор до конца еще не установлена: «машина может думать», «на Марсе есть жизнь», «информатика — наука».

Работа ЭВМ как автоматических устройств основана исключи­тельно на однозначных правилах выполнения команд, программ и алгоритмах обработки данных. Тем самым работа компьютеров, а также всех вычислительных устройств, систем и сетей допускает верификацию — строгую однозначную проверку правильности их работы.

Все сложные логические элементы и блоки вычислительных машин и устройств конструируются из простейших логических элементов с помощью логических операций «И» (AND), «ИЛИ» (OR) и «НЕ» (NOT). В математической логике для этих операций обычно исполь­зуются обозначения — & («И»), V («ИЛИ») и — («НЕ»).

Наглядной иллюстрацией этих логических связок служат следу­ющие диаграммы:

Отрицание не А истинно или ложно в зависимости от истинности исходного суждения А. Свойства отрицания не как логической связ­ки можно описать таблицей истинности.

Таблица истинности:

А не А

да	нет
нет	да

Свойства отрицаний:

НЕ1: Отрицание ложно, если суждение истинно.

НЕ2: Отрицание истинно, если суждение ложно.

Для понимания роли отрицаний в языках запросов важно уметь выражать их в позитивной форме. Приведем примеры отрицания математических неравенств и их эквивалентные позитивные пере­формулировки:

не (х = 0) º (х ¹ 0);

не (х ¹ 0) º (х = 0);

не (х > 0) º (х £ 0);

не (х < 0) º (х ³ 0);

не (х ³ 0) º (х < 0);

не (х £ 0) º (х > 0).

Для общего понимания математических суждений, утверждений и отрицаний необходимо иметь представления об общих законах математики и математической логики в частности. Первым среди общих законов математической логики является

Закон двойного отрицания:

не (не А) º А.

Отрицание отрицания равносильно исходному утверждению.

Логическая связка И в математической логике называется конъ­юнкцией.

Таблица истинности конъюнкции:

А	В	А и В
да	да	да
да	нет	нет
нет	да	нет
нет	нет	нет

Свойства конъюнкции:

И1: Конъюнкция А и В истинна, когда истинны оба суждения.

И2: Конъюнкция А и В ложна, когда ложно хотя бы одно из суж­дений А или В.

Л

А	В	А и В
да	да	да
да	нет	да
нет	да	да
нет	нет	нет

огическая связка ИЛИ в математической логике называется дизъ­юнкцией. Таблица истинности дизъюнкции:

Свойства дизъюнкции:

ИЛИ1: Дизъюнкция А или В истинна, когда истинно любое из суждений А или В.

ИЛИ2: Дизъюнкция А или В ложна, когда ложны оба суждения А и В.

Для понимания принципов поиска информации по запросам в базах данных и сети Интернет необходимо понимать математичес­кий смысл сложносоставных запросов с использованием логических операций «И» (AND), «ИЛИ» (OR) и «НЕ» (NOT).

Примеры сложносоставных запросов к базам данных и их экви­валентные позитивные переформулировки:

(признак ≠ 0) & не (х > 0) º (признак (0)) & (х £ 0);

(число > 0) v не (у > 0) = (число > 0) v (у £ 0).

Общие принципы отрицания дизъюнкций и конъюнкций в мате­матической логике выражаются двумя закона де Моргана:

Закон отрицания конъюнкции:

не (А и В) º (не А) или (не В)

— отрицание конъюнкции суждений равносильно дизъюнкции отрицаний.

Закон отрицания дизъюнкции:

не (А или В) ((не А) и (не В))

— отрицание дизъюнкции суждений равносильно конъюнкции отрицаний.

Знание и использование данных трех общих законов логики позволяют полностью избавляться от негативных формулировок в за­просах к базам данных и в общении друг с другом. Но еще важнее знание этих законов для понимания принципов и результатов поиска информации компьютерами.

Попробуйте проверить законы отрицания в запросах к Интернет и объясните результаты, полученные от различных поисковых систем:

запрос: «учебник -физика» — «учебник, но не по физике?»

запрос: «учебник -книга» — «учебник, но не книга?»

запрос: «-учебник информатика» — «не учебник, но по информа­тике?»

запрос: «-(-учебник)» — «неверно, что это не учебник» ???

19.Группа финансовых функции (ПЛТ, БС, КПЕР) и функции прогнозирования (ПРЕДСКАЗ, РОСТ и ТЕНДЕНЦИЯ). (Компьютер в работе правоохранительных органов. ППП для юристов.)

Функция ПЛТвозвращает сумму периодического платежа на основе постоянства сумм платежей и постоянства процентной ставки. Иначе говоря, функция может использоваться для расчета платежей по тем кредитным договорам, в которых предусмотрены следующие два обязательных условия:

• выплата кредита будет производиться равными долями;

• ставка за пользование кредитом в течение всего времени действия договора остается неизменной, т.е. не повышается и не понижается по мере выплаты кредита.

Синтаксис

ПЛТ(ставка;кпер;пс;бс;тип)

Ставка – процентная ставка по ссуде.

Кпер – общее число выплат по ссуде.

Пс – приведенная к текущему моменту стоимость, или общая сумма, которая на текущий момент равноценна ряду будущих платежей, называемая также основной суммой. Это стоимость товара, сумма, на которую заключен кредитный договор. /Бс – требуемое значение будущей стоимости, или остатка средств после последней выплаты. Если аргумент бс опущен, то он полагается равным 0 (нулю), т. е. для займа, например, значение бс равно 0./Тип – число 0 (нуль) или 1, обозначающее, когда должна производиться выплата. Если тип 0 или опущен, то оплата производится в конце периода, если тип , то оплата производится в начале периода./Выплаты, возвращаемые функцией ПЛТ, включают основные платежи и платежи по процентам, но не включают налогов, резервных платежей или комиссий, иногда связываемых со ссудой. /При использовании функции ПЛТ необходимо особое внимание при выборе единиц измерения для задания аргументов «ставка» и «кпер». Если рассчитываются ежемесячные выплаты по четырехгодичному займу из расчета 12 процентов годовых, необходимо использовать 12%/12 для задания аргумента «ставка» и 4*12 для задания аргумента «кпер». Если рассчитываются ежегодные платежи по тому же займу, то необходимо использовать 12% для задания аргумента «ставка» и 4 для задания аргумента «кпер»./Использование функции ПРЕДСКАЗ Функция ПРЕДСКАЗ вычисляет или предсказывает будущее значение по существующим значениям. Предсказываемое значение — это y-значение, соответствующее заданному x-значению. Известен набор существующих x- и y-значений; новое значение предсказывается с использованием линейной регрессии. Этой функцией можно воспользоваться для прогнозирования будущих продаж, потребностей в оборудовании или тенденций потребления./Использование функций ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ Функции ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ позволяют экстраполировать y-значения, продолжающие прямую линию или экспоненциальную кривую, наилучшим образом описывающую существующие данные. Эти функции возвращают y-значения, соответствующие заданным x-значениям. Используя x-значения и y-значения, можно построить график процесса.