4. Теория деформаций
4.1. Перемещение точки при пластической деформации
Рассматриваются
малые пластические деформации, т.е.
деформации в данный момент времени. При
деформации каждая точка смещается
относительно первоначального своего
положения. Пусть перемещение точки в
пространстве определяется вектором
.
Его составляющие
,
тогда
,
где 1,2,3 – направления разложения вектора согласно правилу параллелепипеда.
Если элементарный объем повернуть относительно осей 1,2,3, то составляющие относительно новых граней будут располагаться произвольным образом и тогда каждую из них можно разложить по правилу параллелепипеда на составляющие вдоль произвольных координат , рис.4.1.
Рис.4.1. Перемещение материальной точки
В этом случае векторная сумма
.
Каждая тройка перемещений соответствует одной площадке, т.е.
;
;
.
Касательные составляющие равны нулю, тогда
;
;
,
т.е. нормальные составляющие перемещений достигают экстремального значения. Направление оси определяется единичным вектором , оси - вектором , оси - вектором . Таблица вида
,
представляет собой геометрическую сумму указанных векторов, что определяет полное перемещение . Через единичные вектора можно записать сумму
.
Направления, которые определяют площадки, где отсутствуют касательные напряжения, задаются единичными векторами , , . Тогда
.
Если перемещения заданы в приращениях, то
.
Через единичные вектора
.
Перемещения, которые задаются единичными векторами , ,
.
Проекции вектора определяют этот вектор и по модулю и по направлению. Действительно,
;
,
где - углы между вектором и осями 1,2,3. При известных направляющих косинусах, известно направление вектора в пространстве. Это относится и к произвольным координатам . Направления 1,2,3 называют главными направлениями.
4.2. Деформации в элементарном объеме
Деформация любого элементарного объема тела (параллелепипед), может быть представлена из ряда отдельных простейших деформаций, т.е. разложена на составляющие. Имеется шесть составляющих деформаций: три линейных (удлинений) и три угловых (сдвиги). Линейные деформации обозначаются с индексом, указывающим направление удлинения. Положительной деформацией считается деформация удлинения. При данных деформациях изменяется объем и форма.
Положительному
сдвигу соответствует уменьшение угла
между направлением осей. Углы сдвига
(относительные сдвиги), проектирующиеся
на плоскость
,
обозначаются
или
,
рис.4.2. Для других плоскостей -
или
и т. д. Считается, что при малых углах
сдвига, объем остается неизменным.
Угловые деформации не влияют на линейные.
Рис.4.2. Угловые деформации
Выразим компоненты
деформаций через компоненты перемещений.
Выделим в точке тела элементарный объем
с бесконечно малыми ребрами
,
параллельными осям координат. Проекция
элементарного параллелепипеда на
плоскость
до
деформации, точка
является проекцией рассматриваемой
точки
на
плоскость, рис.4.3.
Рис.4.3. Перемещения точки в плоскости
После деформации
точки получили перемещения, и перешли
в положение со штрихом. В общем, все
перемещения зависят от координат, при
этом необходимо учитывать перемещения
связанные и с пластической деформацией.
Если перемещения вдоль соответствующих
осей зависят и от производных по этим
же координатам, то пластическое течение
совпадает с общим перемещением точки.
Если нет, то пластическое течение
перпендикулярно общему перемещению и
тогда появляются сдвиги. В первом случае
,
где
- удлинение ребра в результате его
деформации вдоль оси
.
Относительная
деформация
.
Аналогично получим
,
.
Во втором случае
;
,
где
и
- пластическое смещение векторов
перемещений
и
в поперечном направлении
,
что приводит к угловым сдвигам
и
.
Если их нет, смещаемые точки располагаются
на прямых параллельных осям координат.
Частные производные становятся равными
нулю. Принимая
и
,
запишем
.
Так как
значительно меньше единицы, то
.
Тем же способом получим
.
Тогда
.
Следовательно
.
Принято выражать сдвиги в виде
половинок, тогда
,
.
Причем
.
Индексация будет совпадать с индексацией
касательных напряжений и касательных
перемещений в предыдущем разделе. В
итоге получим: относительные удлинения
,
,
,
относительные
сдвиги
,
,
.
Эти уравнения получим О.Л.Коши. Линейные и сдвиговые деформации можно записать в виде таблицы
.
Значение
является тензором деформаций, обладающий
такими же свойствами, как и тензор
напряжений. Он полностью определяет
деформированное состояние точки.
Из последних соотношений определим элементарные перемещения точек в результате пластической деформации, тогда
,
.
Если подставить
последние соотношения в выражение для
определения приращения вектора
перемещения с учетом, что
,
тогда
,
или
.
Для осесимметричного напряженного состояния в цилиндрических координатах без вывода:
,
,
,
.
Следует подчеркнуть,
что пластической деформации в направлении
координаты
нет. Деформация
определяется геометрическими построениями.
Можно показать, что в цилиндрических координатах при объемном напряженно-деформированном состоянии компоненты тензора деформаций имеют вид
,
,
,
,
.
На границе перемещение можно представить в виде
,
не раскладывая предварительно на составляющие по главным направлениям.